Rapcsák András 1943. július 14-én született Debrecenben. Tanulmányait a Budapesti Műszaki Egyetem Villamosmérnöki Karán, illetve a debreceni Kossuth Lajos Tudományegyetem fizikus szakján végezte. 1969-től a Tiszántúli, majd a Dél-magyarországi Áramszolgáltató Vállalat munkatársa, majd a hódmezővásárhelyi Metripond Mérleggyár fejlesztőmérnöke volt.
1990-től Hódmezővásárhely polgármestere. 2000-ben a közgyűlés felfüggesztette hivatalából, az ugyanebben az évben kiírt időközi választáson azonban ismét Rapcsák András került a polgármesteri székbe. 1994 és 1997 között a Kereszténydemokrata Néppárt tagja, 1995 és 1997 között Csongrád megyei alelnöke. Az 1997-es kizárását követően a Magyar Kereszténydemokrata Szövetség elnökségi tagja.
1994-től országgyűlési képviselő, ahol 1997-ig a KDNP, majd a Fidesz színeiben képviselte a hódmezővásárhelyiek érdekeit. 1994 és 1998 között az önkormányzati és rendészeti bizottság, a jelenlegi parlamenti ciklusban pedig a területfejlesztési, 1999-ig a társadalmi szervezetek bizottságának tagja. 1998-tól a Csongrád megyei közgyűlés tagja.