Laczkovich Miklós

Mi a matematika? - A matematikai igazságról

Van-e abszolút igazság? Abszolútak-e a matematika igazságai? Ha igen, akkor mi dolga van még a matematikának? Mivel foglalkozik egy matematikus? Mennyiben elméletalkotó és mennyiben problémamegoldó a matematika? Az előadás során egyebek mellett ezekre a kérdésekre keressük a választ. Megismerkedünk az ókori matematika olyan nevezetes problémáival, mint a szögharmadolás, a kockakettőzés és a kör négyszögesítése, és e problémák megoldóival: Carl Friedrich Gauss-szal és Ferdinand Lindemann-nal. A matematika ma is számos nyitott problémával áll szemben, amelyek megoldásáért olykor komoly pénzösszeg jár: például a Clay Matematikai Intézet által közzétett hét Millenniumi Probléma bármelyikének megoldásáért egymillió dollár jutalmat fizetnek! Pillantást vetünk az Első Számú Matematikai Problémára: a Riemann-sejtésre. De vajon minden matematikai probléma megoldható-e? Szembenézünk az eldönthetetlen problémák létezésével és e tény következményeivel.

I. Van-e abszolút igazság?
Erre a kérdésre Rényi Alfréd Dialógus a matematikáról című írása nyomán próbálunk meg választ adni. Megvizsgáljuk, hogy a matematika mennyiben ad csalhatatlanabb tudást, mint bármely más ismeret. A vetélkedő vallások egymásnak ellentmondó igazságaival, a mindennapi élet ellenőrizhetetlen igazságaival és a természettudományok paradigmafüggő igazságaival szemben csakis a matematika képes abszolút és megdönthetetlen igazságokat megállapítani. De vajon mi közük van ezeknek az igazságoknak a valósághoz?

II. Három klasszikus geometriai probléma
A klasszikus görögség matematikai teljesítménye ma is csodálatra méltó. Ebből a korszakból megismerkedünk három klasszikus geometriai problémával, amelyek sok évszázadon át lázban tartották a matematikusokat. Mind a három probléma a geometriai szerkeszthetőségre vonatkozott, s csak a 18. század végén és a 19. században sikerült bebizonyítani, hogy egyikük sem oldható meg.

III. Néhány ma is megoldatlan probléma
A görögök több olyan problémát is ránk hagyományoztak, amelyet még ma sem tudunk megoldani. Két ilyen probléma az ún. tökéletes számokkal kapcsolatos. A tökéletes szám definícióját Euklidésznél találjuk: egy szám tökéletes, ha egyenlő az osztói összegével. Euler a 18. században bebizonyította, hogy a páros számok körében nincs más tökéletes szám, csak az Euklidész által leírtak. Egyelőre sem azt nem tudjuk, hogy hány páros tökéletes szám van, sem azt, hogy vannak-e páratlan tökéletes számok. Ez a két kérdés 2300 éve megoldatlan.

IV. Prímvadászat
A matematikusok absztrakt dolgokkal foglalkoznak, melyek között mindig is különleges helyet foglaltak el a prímszámok. Az új, még nem ismert prímszámok megtalálása ugyanolyan izgalmas, mint megmászni egy még magasabb hegyet. Egy új prímszám megtalálása tényleg új rekordot jelent a szó populáris értelmében is, az eredmény bekerül a Guinness rekordok könyvébe, újsághír lesz belőle, és nemegyszer még bélyeget is kibocsátanak az esemény alkalmából.

V. Gauss sejtése és a prímszámtétel
A prímszámok vonzerejét nem kis részben az adja, hogy látszólag össze-vissza helyezkednek el a számok között, nincs olyan egyszerű képlet vagy szabály, amelynek alapján a prímek sorozatát legyárthatnánk. Ezért a matematikusok már régóta táblázatokat készítenek a prímekről. A 18. század derekán az akkor még csak 15 éves Gauss megsejtett egy szép összefüggést, amelyet a későbbiekben, valahányszor egy kibővített prímtáblázat jelent meg, mindig ellenőrzött és mindvégig a sejtését igazoló eredményt kapott.

VI. Az Első Számú Megoldatlan Probléma: a Riemann-sejtés
A prímek eloszlására vonatkozó prímszámtétel a 19. század végére a leghíresebb matematikai probléma lett, melyet végül Bernhard Riemann 1859-ben közölt korszakalkotó dolgozata nyomán két francia matematikus, Hadamard és de la Vallée Poussin bizonyított be 1896-ban. Riemann azonban a prímszámtételnél erősebb állítást tett, mely a közmegegyezés szerint ma az Első Számú Megoldatlan Probléma a matematikában. A Riemann-sejtés megoldásáért a Clay Matematikai Intézet 2000-ben egymillió dollár jutalmat tűzött ki.

VII. Gödel tétele, avagy tudomány vagy művészet a matematika?
Az a nézet, hogy legalábbis elvben minden problémát meg tudunk oldani, 1930-ig tartotta magát, amikor Kurt Gödel óriási szenzációt keltve bebizonyította, hogy minden axiómarendszerben vannak olyan állítások, amelyeket sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Tehát egy problémát vizsgálva nem tudhatjuk eleve, hogy megoldható-e vagy pedig elvileg sem lehet eldönteni. Végül is Gödel csak azt bizonyította, amit minden matematikus amúgy is tudott: a matematika nemcsak tudomány, hanem művészet is.

Tovább