Meskó 1986-ban született Temesváron, és 12 évesen költözött ki családjával Amerikába, Ohio államba. Középiskolásként ismerkedett meg az amerikaifutballal, rúgójátékosként elég jó mutatói voltak, több egyetem is bejelentkezett érte, végül a Michigant választotta.
A Michigannél 252 puntjával (punt akkor van, amikor egy csapat nem tud megtenni a támadás folytatásához szükséges yardot és ezért elrúgja a labdát, hogy az ellenfél minél hátrébbról jöjjön) megdöntötte a csapatrekordot, az NFL csapatok megfigyelői is ezért jegyezték meg a nevét, ugyanis nagyon megbízhatóan rúgja a puntokat.
Meskót a draft ötödik körében választotta a New England, amely Bill Belichick irányítása alatt először drafolt puntert. Meskó így egy csapatba került Tom Bradyvel, a liga egyik legjobb irányítójával, aki szintén a Michigan Egyetemre járt, és aki kedvenc játékosának számított. A Patriots az NFL egyik kirakatcsapata, amely az elmúlt évtizedben állandó szereplője volt a rájátszásnak, és háromszor meg sem állt a Super Bowl-győzelemig.