Az Újpesti Dózsa ifjúsági csapatában kezdte pályafutását. A sajátnevelésű játékos 18 évesen került az első csapathoz, és másfél évtized alatt 408 bajnoki mérkőzésen, 210 góllal járult hozzá a sikerekhez.
A csapattal 9 bajnoki címet nyert, megszakítás nélkül 7 alkalommal.
Háromszor lett gólkirály utolsó újpesti idényeiben két évente (1976, 1978, 1980). A legutolsó alkalommal elnyerte az európai ezüstcipőt is.
Fazekas László Bálint László után, a második olyan magyar játékos volt (a II. világháború utáni időszakban), aki engedéllyel mehetett külföldre játszani. Az akkori párt- illetve labdarúgó-vezetés az érdemeire való tekintettel 1980-ban adta meg neki is a lehetőségét, ekkor már 33 éves volt.
Négy éven át a belga Royal Antwerpen csatára volt. Itt, mint minden idők három legjobb antwerpeni játékosa közt tartják számon. Az aktív labdarúgást a St. Truiden csapatában fejezte be 1985-ben.
A belga élvonalban összesen 105 mérkőzésen 34 gólt szerzett.
1968 és 1983 között 92 alkalommal szerepelt a válogatottban és 24 gólt szerzett. A válogatottságot tekintve Király Gábor, Dzsudzsák Balázs, Bozsik József, Gera Zoltán és Juhász Roland mögött a hatodik, míg a rúgott gólokat tekintve a 17. az örökranglistán. 1968-ban Mexikóvárosban olimpia aranyérmet szerzett a csapattal. Kétszer szerepelt világbajnokságon: 1978-ban Argentínában, 1982-ben Spanyolországban. Ez utóbbi volt válogatott pályafutásának vége. A Salvador elleni 10-1-es győzelemből 2 góllal vette ki a részét.
A csoportból való továbbjutást eldöntő mérkőzésen Belgium ellen, 1-0-s magyar vezetésnél a belga kapus, Jean-Marie Pfaff legázolta a kiugró Fazekast.
A kapus büntetlenül megúszta tettét és később egyenlítettek, így ők jutottak tovább. 1983. március 27-én a Luxemburg ellen Eb-selejtezőn (6-2) búcsúzott hivatalosan a válogatottól Fazekas László.
Csak külföldön, Belgiumban dolgozott edzőként a pályafutása során, bár neve többször felmerült az Újpest, és a válogatott élén, de komoly ajánlattal sohasem keresték meg őt. 1994 és 1995 a válogatott pályaedzője volt Mészöly Kálmán mellett, akivel először együtt játszott a válogatottban, majd, Mészöly első szövetségi korszaka idején még tagja volt a válogatottnak.