1948. április 24-én született Budapesten, apja, idősebb Szívós István a magyar póló legendás alakja volt. Gyerekként nemigen igyekezett a kétszeres olimpiai bajnok apa nyomdokaiba lépni, iszonyodott a víztől, úszni is csak nagy nehezen tanult meg, de a labdával szívesen játszott.
Tizenkét éves volt, amikor az orvos egy kartörés után előírta, hogy karjának erősítése miatt ússzon sokat. Akkor már edzősködő apja először a Vasasba vitte le, majd hamarosan az FTC-be, volt edzőjéhez irányította. Megszerette a közeget, az ificsapatban előbb kapus, majd center lett. 1964-ben már az FTC kupagyőztes csapatának tagja volt, első magyar bajnoki címét 1965-ben szerezte. Az FTC-vel összesen két bajnoki (1965, 1968) és három kupagyőztesi címet (1964, 1965, 1967) szerzett.
Az érettségi után két évet várt, amíg felvették a SOTE fogorvos szakára. Emiatt azonban csapatot is kellett váltania, így átigazolt az orvosegyetemi csapatba. 1968-tól 1980-ig az OSC játékosa volt, ahol összesen hét bajnoki cím mellett (1969-1974, 1978), kétszeres kupagyőztes (1970, 1974) és kétszeres BEK-győztes (1973, 1978) lett. A magyar bajnokság első osztályában 327 mérkőzésen játszott, bajnokságot kilencszer, Magyar Kupát ötször érdemelt ki csapataival.
A válogatottban tizennyolc évesen, 1966-ban mutatkozott be, és 1980-ig összesen 308 alkalommal szerepelt. Tagja volt az 1976. évi montreali olimpián aranyérmet, az 1972. évi müncheni olimpián ezüstérmet, az 1968. évi mexikói és az 1980. évi moszkvai olimpián bronzérmet nyert magyar együttesnek. A világbajnokságokon egy arany- és két ezüstérmet szerzett, részese volt egy Európa-bajnoki győzelemnek is. Testi adottságait nagyszerűen kamatoztatta, a kétméteres óriásra általában két ember vigyázott, de sokszor hiába.
1974-től a SOTE Gyermekfogászati és Fogszabályozási Klinika tanársegéde, 1986-tól 2010-ig adjunktusa volt. Munkája mellett 1981-re elvégezte a Testnevelési Főiskola (ma Egyetem) edző szakát. 1980-81-ben a Medicor OSC technikai vezetője, 1983-tól 1990-ig az FTC vízilabdacsapatának edzője, közben 1986 és 1990 között az ifjúsági, illetve az utánpótlás-válogatott szövetségi kapitánya volt. A zöld-fehérekkel nyert két bajnokságot és két Magyar Kupát.
1991 és 1998 között a Ferencvárosi Torna Club ügyvezető elnökeként működött, ezt tartja élete egyik legszebb és legsikeresebb időszakának. A népszerű klub csapatai vezetése alatt huszonegy bajnokságot nyertek, a futballcsapat pedig bejutott a Bajnokok Ligájába. A tisztségről végül saját akaratából mondott le, de a vízilabda-szakosztálynak egy ideig még elnöke maradt. 1992-ben beválasztották a Magyar Vízilabda Szövetség elnökségébe, 2012-ben az utánpótlás-bizottság elnökeként újabb négy évre az elnökség tagja, 2002-ben a Központi Sportiskola (KSI) vízilabda-szakosztályának elnöke lett.
Háromszor választották meg az év magyar vízilabdázójának (1969, 1970, 1971). 1994-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztje polgári tagozata kitüntetést kapott. 1996-ban az egyesült államokbeli Fort Lauderdale-ben beválasztották az úszás halhatatlanjai, az International Swimming Hall of Fame tagjai közé, ugyanabban az évben került fel kéznyoma és aláírása a Magyar Sportcsillagok Falára. 2000-ben egy szavazáson az évszázad magyar vízilabda-válogatottjának tagja lett, az együttesbe az 1976-os montreali bajnokcsapatból kerültek be legtöbben. 2016-ban Papp László Budapest-Sportdíjat kapott.
Fia, Szívós Márton is válogatott, világbajnok vízilabdázó, ő maga már nagyapa. Van egy háza a Balaton északi partján, ha csak teheti, ott gondozza a gyümölcsfáit, vagy lemegy horgászni a tóra.