A "mocskos képű angyalnak", illetve "Nagyfejűnek" (El Cabezon) becézett, alig 168 centiméteres balösszekötő 1935. október 20-án született az argentínai San Nicolasban. Pályafutását a River Plate-ben kezdte 17 éves korában, két bajnokságot nyert csapatával 1955-ben és 1956-ban.
Itt fedezték fel az olasz játékosügynökök, és két honfitársával, Antonio Valentin Angelillóval, valamint Humberto Maschióval együtt nemcsak hogy Itáliába csábították őket, hanem gyorsan olasz ősöket is találtak nekik, hogy honosíthassák a három kiváló támadót. (Az ilyen "hazatérő" emigráns-leszármazottat hívják az olaszok "oriundónak").
Sivori, akinek vételárából a legenda szerint sikerült a River Plate-nek befejeznie új stadionjának felépítését, a Juventushoz került, és 1957-től 1965-ig a Zebrák nagy csapatának erőssége volt olyan társak mellett, mint Giampiero Boniperti, vagy a walesi óriás, John Charles. 1958-ban, 1960-ban és 1961-ben bajnokságot, 1959-ben és 1960-ban Olasz Kupát nyert a Juvéval, 1960-ban olasz gólkirály volt 27 góllal.
Egy évvel később az Inter elleni 9-1-es mérkőzésen 6 gólt lőtt, ennyit olasz bajnokin addig utoljára 1933-ban Silvio Piolának sikerült. 1961-ben elnyerte a France Football Aranylabdáját, érdekes módon ő már a második argentin származású volt Alfredo Di Stefano után, akit Európa legjobbjának választottak.
Közben Argentínában sem halványult nimbusza, ahol még 1957-ben a válogatottal dél-amerikai bajnokságot nyert. Az elmúlt évtized egyik legnagyobb játékosa, Gabriel Omar Batistuta 1969-ben éppen miatta kapta második keresztnevét.
A zömök testalkatú, lobogó fekete hajú Sivori félelmetes cselező és rendkívül gólerős volt, emellett hatalmas játékintelligenciával rendelkezett, ugyanakkor a futball egyik legnagyobb "csibésze" is volt, akivel nemcsak az ellenfeleknek, hanem a bíróknak és az edzőknek is alaposan meggyűlt a baja.
Miután a Juve új edzője, Heriberto Herrera elképzeléseibe nem fért be az örök renitens, elpasszolták az újonc Napolihoz, ahol a Milantól szintén elküldött José Altafinival együtt csodát művelt: a Szamarasok 1966-ban a Serie A harmadik helyén végeztek.
Egykori játékostársa, Antonio Iuliano és edzője, Bruno Pesaola szerint "ő volt a 60-as évek Maradonája". Sivori másodvirágzása 1969-ben ért véget, a sors furcsa fintoraként éppen egy Juventus elleni mérkőzésen történt kiállítását követően fejezte be pályafutását. Annyira bántotta a szerinte igazságtalan ítélet, hogy hazatért Argentínába.
Visszavonulása után egy ideig edzősködött, volt argentin szövetségi kapitány is, balszerencséjére éppen az 1978-ban Argentinában megrendezett, végül a hazaiak által megnyert vb előtt váltották le. Később elsősorban szakkommentátorként tevékenykedett, rendszeresen írt a milánói La Gazzetta dello Sport című tekintélyes olasz sportlapba és állandó vendége volt a 90-es évek közepéig a RAI Due tv-csatorna vasárnap esti sportműsorának.
A Juventus vezetői is lerótták kegyeletüket Omar Enrique Sivori előtt. "Egy szimbólumot, egy barátot vesztettünk el" - nyilatkozta Luciano Moggi, a Juve főigazgatója. "Csodálatos játékos volt, úgy szerettem, mintha a bátyám lett volna" - mondta az egyik neves utód, Roberto Bettega, a klub alelnöke. Ottavio Bianchi, a Napoli későbbi sikeredzője, aki szintén együtt játszott Sivorival, úgy emlékezett rá, mint egy bohém, kedves fiúra, akinek volt humora, öniróniája, de minden mérkőzést halálosan komolyan vett.
Alberto Zaccheroni, a Milan és az Inter volt edzője pedig úgy vélekedett róla, hogy a mai játékosok közül legfeljebb Zinedine Zidane hasonlítható Sivorihoz.