A 28 éves bosnyák középpályás 2012 augusztusában került a Ferencváros csapatához. Két évet töltött a fővárosi csapatnál, ezalatt olyan szinten megszerettette magát a szurkolókkal, hogy megválasztották a 121 éves klub történetének legjobb légiósának.
Besic 2014 nyarán bekerült a brazíliai világbajnokságon szereplő bosnyák válogatottba, a tornán nyújtott teljesítményével pedig számos csapat figyelmét felkeltette, így került 2014 augusztusában a liverpooli klubhoz, amely 4.8 millió eurót fizetett érte a Fradinak.
Besicnak azonban nem volt sikeres az angliai kaland. Az Evertonban három és fél szezon alatt csak 56 meccs jutott neki. 2018 januárjában a Middlesbrough-hoz került másfél évre kölcsönben, majd a 2019/20-as szezont a Sheffield United csapatánál töltötte, szintén kölcsönben. Az előző szezonban papíron még az Everton játékosa volt, de csak a bosnyák válogatottban lépett pályára két Nemzetek Ligája-meccsen.
A 28 éves Besicnek lejárt a szerződése, így szabadon igazolható. Tavasszal felmerült, hogy visszatér a Fradiba, ugyanis jó kapcsolatban maradt a klubvezetőkkel, de az sok tényezőtől függ, hogy Besic végül visszatér-e Magyarországra, mert valószínűleg sok ajánlat közül válogathat.