Áttörés a prímszámok elméletében

Dan Goldston (San Jose State University, USA) és Cem Yildirim (Isztambuli Egyetem) egy Németországban rendezett matematika konferencián bejelentette, hogy áttörést értek el a prímszámok elméletében. Munkájukat kollégáik az utóbbi évtizedek legjelentősebb eredményének minősítették.

A prímszám vagy törzsszám olyan pozitív egész szám, amely csak 1-gyel és önmagával osztható. Az első néhány prímszámot könnyű megtalálni: 2, 3, 5, 7, 11, 13 stb. (megállapodás szerint az 1-et nem tekintik törzsszámnak.)

A prímszámok keresésére a görög Eratoszthenész már az i.e. 3. században módszert dolgozott ki. Ez az egyszerű eljárás az ún. eratoszthenészi szita, amellyel ki lehet rostálni a számsorból a nem prímszámokat. A számítógépek bevetésével egyre nagyobb és nagyobb prímszámokat sikerült megtalálni. A ma ismert legnagyobb prímszám több száz számjeggyel írható le. A prímszámok keresésének fontos gyakorlati oka is van: a prímszámok meghatározó szerepet játszanak a modern titkosítási módszerekben, illetve a titkosítások feltörését célzó eljárásokban.

Az egyre nagyobb számok között mind kevesebb prímet találunk, de már az ókorban bebizonyította a görög Eukleidész, hogy a prímszámok sorozata végtelen, nincs legnagyobb prímszám. A prímek furcsa módon nagyon gyakran fordulnak elő egymás közelében. Ikerprímeknek nevezzük azokat a prímszám-párokat, amelyekben a két prímszám különbsége 2. Ikerprímek például a 3 és 5, az 5 és 7, a 11 és 13, a 17 és 19, 29 és 31, 41 és 43 stb. A prímszámokhoz hasonlóan ikerprímek is egyre ritkábban fordulnak elő, ahogy a mind nagyobb számok felé haladunk. Felmerül a kérdés, elfogynak-e egyszer az ikerprímek, van-e legnagyobb ikerprím?

A látszólag nagyon egyszerű kérdés megválaszolása mindeddig nem sikerült. A probléma jelentőségének igazolására a Magyar Nagylexikon 1999-ben megjelent ikerprímek címszavából idézünk: "Nevezetes sejtés, hogy ilyen ikerprímek végtelen sokan vannak, ennek bizonyítása a matematika mai állása szerint reménytelennek tűnik."

Goldston és Yildrim sem oldotta meg a reménytelennek ítélt feladatot. A problémát megkerülve, egy másik kérdésre kerestek és találtak választ: lehet-e találni olyan prímszámokat, amelyek esetleg nem ikerprímek, de az átlagosnál sokkal közelebb vannak egymáshoz? A kérdésre igennel válaszoltak, sokéves elemzés után. Szakértők szerint nemcsak az eredmény nagyon értékes, hanem az az új módszer is, amellyel elérték.

Az új módszer közelebb vihet más, régóta megoldatlan matematikai problémák, mindenekelőtt a Riemann-sejtés megoldásához. A sejtést 1859-ben közölte G. F. B. Riemann német matematikus, s azóta sem sikerült bizonyítani vagy cáfolni. A sejtés az első 1,5 milliárd esetre igaznak bizonyult, de általános igazsága még nem bizonyosodott be. 2000-ben egy amerikai matematikai intézet 1 millió dolláros díjat tűzött ki a matematika egyik legnagyobb megoldatlan problémájának tartott Riemann-sejtés eldöntésére.

Jéki László