Bitskey Tibor Bitskey Lajos és Altziebler Erzsébet gyermekeként született 1929-ben, és Rákoskeresztúron élt 12 éves koráig. A Bulyovszky utcai elemi iskolában fedezték fel kiváló versmondó képességét.
Nagybátyja, Altziebler Pál zeneszerző, karmester és hegedűművész kis színházi társulatában ismerkedhetett meg a színjátszással.
A Színművészeti Akadémiát 1953-ban végezte el, de már 1951-től a Magyar Néphadsereg Színháza ösztöndíjasa, 1959–1964 között a Nemzeti Színház, 1964–1974 között a Vígszínház tagja volt. 1974–1996 között a Thália, illetve az Arizona Színház vezető művészeként szerepelt.
Szabadidejét a sport töltötte ki, amelyben szintén kiváló adottságokkal bírt. Ifjúsági bajnok volt síkfutásban és gátfutásban, akár olimpikon is lehetett volna. Sport iránti szenvedélyét később is megőrizte. Alapítója volt például a színészválogatottnak, amelynek sokáig jobbszélsője is volt.
Megjelenése, szép orgánuma a hősszerepek megformálására predesztinálta. Számos filmszerep és televíziós alakítás tette ismertté.
Várkonyi Zoltán, a Vígszínház vezetője, filmjeiben is előszeretettel szerepeltette Bitskeyt. A kőszívű ember fiai-ban, az Egy magyar nábob-ban, a Kárpáthy Zoltán-ban és az Egri csillagok-ban is klasszikus hősszerepekben tűnt fel. Utóbbinak a hangoskönyv verzióját is az ő hangjával hallhatjuk.
A fiatalok számára a Vuk című rajzfilmsorozat narrátoraként lehet ismerős jellegzetes hangja. Több száz szinkronszerepet alakított, ő volt Sean Connery és Brian Cox, Michael Cain, Gary Cooper, Kirk Douglas magyar hangja.
Bitskey Tibort kétszer ismerték el Jászai Mari-díjjal (1958, 1962), a Kossuth-díjat pedig 2000-ben kapta meg. 2013-ban a Magyar Érdemrend középkeresztjével is kitüntették.
2007-ben Budapest XVII. kerülete, 2012-ben a II. kerület is díszpolgárává avatta. 2012. január 22-én Hódmezővásárhelyen átvehette a Bessenyei-díjat. 2014 szeptemberében választották meg a nemzet színészévé.
Ars poeticáját így fogalmazta meg egy interjúban, egyik kedvenc Móra Ferenc verséből idézve: „Ma is, ami szép akad az utamba, / lelket keresek én gyerekésszel abba, / mindig apróra bontogatom, / s a semmit mindig megsiratom".