Minter amatőrként is kiváló bokszoló volt, 1972-ben bronzérmet szerzett a müncheni olimpián. A játékok után szinte azonnal profinak állt, és előbb a középsúly brit, illetve Európa-bajnoki címét nyerte el, majd miután sorozatban megnyert nyolc összecsapást, 1980-ban már két szervezetnél, a WBC-nél és a WBA-nál is világbajnok lett, miután megosztott pontozással legyőzte Vito Antuofermót Las Vegasban.
A bajnoki övek azonban csak néhány hónapig maradtak nála, mert fél évvel később, második címvédése alkalmával simán kikapott Marvyn Haglertől. A következő évben a Tony Sibson elleni vereség után visszavonult. Profi mérlege 39 győzelem mellett 9 vereség volt, egy mérkőzésén pedig nem hirdettek eredményt.