Boghossian 1970. október 27-én született Digné városában, és pályafutását a helyi csapatban kezdte, mégpedig kapusként.
Később az Olympique Marseille-ben már középpályásként szerepelt, de sokáig nem tudott felkerülni az első csapat keretéhez. Három idényen keresztül futballozott az OM tartalékcsapatában a harmadik vonalban, majd egy idényt eltöltött a másodosztályban az Istres-ben.
Az 1993-94-es szezonban végre bemutatkozhatott az élvonalban, és egy idény alatt olyan teljesítményt nyújtott, hogy megvette őt az olasz Napoli. Három idényen keresztül szolgálta a nápolyiakat, majd 1997 nyarán a Sampdoriába szerződött. Innen már a válogatottba is bekerült, és tagja volt az 1998-ban világbajnokságot nyerő francia gárdának.
A vébét követően a Parmához írt alá, és egészen idén nyárig itt szerepelt. Noha a legutóbbi két idényben sokkal ritkábban lépett pályára, ám ennek ellenére bennmaradt a válogatott keretben. Szerződése a nyáron lejárt, és a pármaiak nem akarták meghosszabbítani, így ingyen igazolhatóvá vált. Bejelentkezett érte a skót Rangers és a Paris Saint-Germain is, de ő végül az Espanyol ajánlatát fogadta el.