Bognár 2018 és 2020 között már tagja volt a kék-fehérek felnőtt csapatának, akkor 56 találkozón 15 gól és 19 gólpassz volt a mérlege. Ezután igazolt át Paksra, ahol másfél szezon alatt 52 meccsen 17 találatot és 29 asszisztot jegyzett édesapja, Bognár György irányítása alatt.
Tavasszal kipróbálta a légióséletet is a 31 esztendős játékos: Cipruson az Arisz Limasszol csapatát erősítette, a kölcsönszerződése azonban az idény végén megszűnt.
Az már korábban biztossá vált, hogy Bognár György is a budapestiekhez csatlakozik, ahol szakmai igazgatóként fog dolgozni a következő szezontól, most pedig fia is követte őt a NB I-ből kieső klubhoz.