Életet ad a szobroknak az aranyszög

A Stanfordi Egyetem művész-tanára, John Edmark különleges szobrokat készített, melyek a megfelelő felvételtechnikával szinte életre kelnek.

A videón látható szobrok kicsit olyanok, mintha egy napraforgó tányérja, vagy fenyőtoboz elevenedne meg, vagy más virágok, termések szerkezetét pillantanánk meg a látványos forgásban. Íme, a videó, majd pedig megtudhatjuk, mitől viselkednek így a szobrok, mi közük van a napraforgóhoz, és hogyan készíthetünk mi is hozzájuk hasonló tárgyakat.

E szobrok nem valamiféle különleges Transformers-nanotechnológiával készültek - egyszerű, 3D-nyomtatott műanyagdarabok, melyeket megforgattak egy tengely körül, és ügyesen filmre vettek. A felvétel készítésénél azt kellett szem előtt tartani, hogy olyan ütemben készüljenek a képkockák (vagy akkor kapjon megvilágítást a tárgy), amikor a szobor az úgynevezett aranyszög (nagyjából 137,5º) mértékével elfordult. Ezekből a képkockákból állnak össze e bizarr animációk, melyeken úgy tűnik, mintha élne, növekedne a szobor. Ahhoz, hogy mindezt jobban megértsük, szükségünk lesz egy kis “aranyos” matematikára.

Aranymetszés, aranyszög

Képzeljünk el, hogy van egy téglalapunk, melynek, ha egyik oldala fölé négyzetet rajzolunk, az eredetihez hasonló (azonos oldalarányú) nagyobb téglalapot kapunk. Könnyű látni, hogy - oldalarányát tekintve - csak egyféle ilyen téglalap létezik, ez pedig igencsak különleges, hiszen a téglalapok egymásba skatulyázott sorozatában ugyanaz az arányosság a végtelen kicsitől a végtelen nagyig megismétli magát. E nevezetes téglalap oldalarányát nevezzük aranymetszésnek, jele a φ. Értéke irracionális, vagyis nem áll elő két egész szám hányadosaként, közelítőleg 1,618.

Íme, az aranytéglalap - az aranymetszés értéke az a/b hányados Forrás: Wikimedia Commons

Gondoljuk most el, hogy az ábrán látható téglalap a+b oldalát egy körré göngyölítjük fel. A b-nek megfelelő ív szögét nevezzük aranyszögnek.

A hajtáscsúcs titkai

Ha megállítjuk a videót mondjuk 1:08-nál, láthatjuk a szobor közepéből kiinduló spirálkarokat, és az ábrán pirossal jelzett aranyszög ismeretében egy jó adag fantáziával elképzelhetjük, mi is történik egy ekkora méretű elforgatásnál. Az animáció iránya az elforgatás szögének kis változtatásával módosítható (hasonló trükköt már bemutattunk egy korábbi, hangvizualizációról szóló cikkünkben, amikor az egyik jelenetben a csöpögő víz haladt látszólag fel/le a csövet megrezgető hang frekvenciája és a felvétel sebessége arányától függően).

A napraforgó-szobor, pirossal az aranyszög Forrás: Youtube/johnedmark

A változni látszó “szirmok” és a nevezetes aranyszög kapcsolata nem véletlen, ugyanis a természetben ez a szög igen fontos szerepet kap a különféle növényi részek növekedésénél. A jelenséget úgy tudjuk megérteni, ha egy kicsit belepillantunk a növényi alakfejlődés folyamatába. Amikor a hajtáscsúcs osztódó sejtjeiből kialakul egy levélkezdemény, ez egy speciális vegyülettel jelzi környezetének, hogy “itt most egy levél születik, többre nincs szükség a környéken”. A gátlás erőssége - ahogy az anyag lebomlik - idővel exponenciálisan csökken, és az új levélkezdemények a már növekvőktől a gátlással arányos távolságot próbálnak tartani.

Mivel a levélkezdemények a hajtáscsúcs körül egy képzeletbeli körön helyezkednek el (később, ahogy növekednek, persze távolodnak), a gátlások erősségének aránya megegyezik az levélkezdemények közti szögek arányával, így a sok levélkezdemény születése után "beálló" elhelyezkedést éppen ezek határértéke adja, mely nem más, mint az aranyszög (pontos levezetés itt).

Fibonacci különleges számsorozata

A tizenharmadik századi olasz tudós, Leonardo di Pisa vagy ismertebb nevén Fibonacci eredetileg egy, a valóságtól igencsak elrugaszkodott nyúltenyésztési kísérlet eredményére volt kíváncsi. Gondolatkísérletében feltételezte, hogy a nyulak örökké élnek, egy hónap alatt ivaréretté válnak, és egy nyúlpár minden hónapban pontosan egy újabb nyúlpárral örvendezteti meg gazdáját. Vajon hány nyúlpár lesz egy év múlva?

Az első hónap végén még csak egy nyúlpárunk van, ezek máris párzanak. A második hónap végén megszületik az új pár, vagyis már két párunk van. A következő hónapban az első pár ismét új nyúlpárnak ad életet, a második párzik. Most három párunk van. Ha ugyanígy folytatjuk tovább, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. nyúlpárunk lesz, vagyis az aktuális hónap párjainak száma mindig az előző kettő összegeként áll elő.

Ha tekintjük az egymást követő Fibonacci-számok hányadosait, azt tapasztaljuk, hogy ezek egyre inkább egy számhoz közelítenek, ez pedig hogy, hogy nem, épp az aranymetszés értéke, vagyis φ.

Ha tehát egy napraforgó tányérját forgatjuk, és filmezzük ezzel a módszerrel, valójában azt követhetjük nyomon a kapott animáción, ahogy az egyes magok keletkezésük helyéről indulva, lassan növekedve kifelé vándorolnak - ez a jelenség bukkan fel a forgatva fotózott szobroknál is. Ráadásul matematikai szimulációval az is megmutatható, hogy a napraforgó tányérján (vagy a toboz alján) megjelenő spirálkarok száma mindig valamelyik Fibonacci-szám lesz, és ennek nagysága a növekedés sebességétől függ.

E növényi mintázatok régóta ismertek, azonban kialakulásuk elvét csak a 20. század végén fejtették meg. Minderről részletesebben ebben a cikkben olvashatunk. Ilyen és ehhez hasonló szobrokat magunk is gyárthatunk, ennek részleteit megtudhatjuk John Edmarktól az Instructables oldalán.