Eidur Smári Gudjohnsen sorsa tulajdonképpen már a születésekor eldőlt, hiszen édesapja nem más, mint az egyik leghíresebb izlandi futballista, Árnor Gudjohnsen, aki mindössze 17 esztendős volt, amikor fia 1978. szeptember 15-én megszületett.
Árnor akkoriban még csak hazája pontvadászatában kergette a labdát, és még egyáltalán nem volt különösebben ismert, de nem sokkal később bemutatkozhatott hazája válogatottjában, majd Belgiumba szerződött. Idősebb Gudjohnsen először az SC Lokerenben szerepelt, majd a brüsszeli sztárcsapatba, az RSC Anderlechtbe szerződött, amelynek színeiben 1987-ben gólkirályi címet is szerzett.
Később megfordult a Girondins Bordeaux-ban, majd a svéd BK Häckenben és az Örebro SK-ban is szerepelt - de pályafutása végén már nem annyira a saját játéktudása, hanem fiacskája, Eidur miatt beszéltek róla. Más kérdés, hogy a srácot igazából Eidur Árnorssonnak kellene hívni, Izlandon ugyanis nincsenek klasszikus értelemben vett családnevek, és a gyerekek édesapjuk vagy édesanyjuk után kapják a nevüket, vagyis a Barca csatárát Árnor fiának, azaz Árnorssonnak kellett volna nevezni.
Egy 1913-as törvény alapján azonban bizonyos esetekben (főleg a külföldön élőknél) kivételt lehet tenni, és Gudjohnsenéknél is így történt.