A boszniai horvát nemzetiségű, élete nagy részében Jugoszláviát képviselő Blazevic játékosként horvát, bosnyák és svájci csapatokban futballozott, de ekkor még nem ért el nagy sikereket.
Edzői karrierjét Svájcban kezdte, 1976-ban két meccsen irányította a svájci válogatottat is, később a Dinamo Zagreb, a Nantes és a PAOK kispadjára is leült.
A legnagyobb sikerét horvát szövetségi kapitányként érte el, amely posztot 1994 és 2000 között töltötte be: az 1998-as világbajnokságon óriási meglepetésre ugyanis bronzéremhez juttatta a csapatát.
Blazevic ezután Irán nemzeti csapatát is vezette, majd visszatért a klubfutballhoz, de 2008-ban ismét szövetségi kapitány lett:
2008 és 2009 között Bosznia-Hercegovinát irányította, amelyet története során első (és máig egyetlen) alkalommal sikeresen kivezetett a világbajnokságra.
Edzői karrierjét 2015-ben, a Zadar trénereként fejezte be.
A szerda hajnalban bejelentett halála után felesége, három gyermeke és öt unokája gyászol.
