Kvjat 2014-ben állt először rajthoz az F1-ben a Red Bull fiókcsapatával, a Toro Rossóval. Később másfél évig kipróbálták a nagycsapatnál is, de végül visszafokozták, és 2020 vége óta nem tagja a mezőnynek. Az orosz a második Red Bull-os szezonjában mindössze négy futamig jutott, majd Max Verstappen érkezett a helyére, ezt pedig Kvjat azóta is nehezen tudta megemészteni.
Segítesz nekik átvészelni a legsz...bb időszakukat, erre ők megszabadulnak tőled"
– nyilatkozta a most 29 éves pilóta.
Kvjat a Red Bull akkori és mostani vezérét, Christian Hornert is kritizálta abban az interjúban, a brit csapatfőnök pedig a héten akarva-akaratlanul visszaszólt az orosznak a csapat Talking Bull podcastjében. Hornernek egy hangbejátszás alapján kellett kitalálnia, hogy melyik expilótája beszél, ő pedig amellett, hogy felismerte Kvjat hangját, oda is szólt neki.
A kérdés inkább az, hogy ez [a rádiózás] melyik balesete után történt. Ugyanis volt neki jó néhány belőle..."
Horner végül a 2016-os Orosz Nagydíjra tippelt, de a helyes válasz a 2015-ös Amerikai Nagydíj volt.
Kvjat a 110 F1-es versenyből, amelyen elindult, 20 alkalommal esett ki, ezek nagy részét pedig pilótahiba, és nem műszaki probléma okozta.