Az ember, aki a királyi úton a végtelenhez tartott
![Erdős Pál, matematikus, konferencia](https://cdn.origo.hu/2023/12/MM4_MJXaNzfIceUH8AgLDIcWyrMeh3qNR0u9Mi0Fb6A/fill/1347/758/no/1/aHR0cHM6Ly9jbXNjZG4uYXBwLmNvbnRlbnQucHJpdmF0ZS9jb250ZW50Lzg3YmM2NWIxYWU5YTRlNjJiMDgyYjE3YWU3OTlmNjM3.webp)
"Találkozni akarsz Erdőssel? Csak maradj itt, és várj! Előbb-utóbb úgyis felbukkan" - járta a mondás Erdős Pálról, a 20. század valószínűleg legnagyobb matematikusáról, aki szüntelenül bolyongott a világban, mindig egy másik kollégája ajtaján kopogtatva híres üdvözlésével: "Az elmém nyitott!" Ilyenkor néhány napon át ott élt, az éppen aktuális problémákon töprengve házigazdájával, majd két, félig üres bőröndjét fogva, amelyekben szinte csak a feljegyzései voltak, továbbállt. A világcsavargók "ahány kikötő, annyi nő" mottójával szemben az ő életfilozófiája az volt, hogy "ahány lakás, annyi bizonyítás". Soha nem volt a szó szoros értelmében vett otthona, sőt még rendes állása sem, de bárhová ment, tárt karokkal fogadták, s noha már tizenhét éve halott, egykori tanítványai és munkatársai a mai napig nagy szeretettel beszélnek róla. Legalább huszonöt országban járt rendszeresen. Bár szinte minden téma érdekelte, alighanem igaz, hogy a matematika nélkül nem is létezett volna.
Egy találó megfogalmazás szerint Erdős a matematika méhecskéje volt: nem virágról virágra, hanem házról házra szállt, mindenhol megtermékenyítő ötleteket hintett el, az utazásai során terjesztette a legújabb eredményeket. A saját kutatásai is figyelemre méltóak voltak - ezért 1983-ban megkapta a matematikai Nobel-díjak egyikeként emlegetett Wolf-díjat -, a legfőbb erényeként mégis azt tartották számon, hogy a megfelelő problémákat vetette fel. Noha a matematikát a kívülállók többnyire száraz, nehezen megközelíthető és magányos tudományágnak tartják, Erdős az együtt gondolkodás mestere volt; hosszú beszélgetések során terelte a partnereit a helyes irányba. Az a szállóigévé vált mondás, hogy "a matematikus egy gép csupán, amely az elfogyasztott kávémennyiséget elméletekké alakítja", a közhiedelemmel ellentétben nem tőle, hanem Rényi Alfrédtól származik, de Erdősre is teljesen érvényes volt.
"Elképesztően jól kérdezett. Nagyon sok terület azért fejlődött, mert ő kérdéseket tett fel. Ilyen érzéke senkinek sem volt, ez egészen biztos" - mondta róla egy rádióműsorban az Abel-díjas Szemerédi Endre, akinek az első fontos eredménye 1975-ben pont Erdős és Turán Pál azon sejtésének bizonyítása volt, hogy minden pozitív sűrűségű sorozat tartalmaz tetszőlegesen hosszú számtani sorozatot. "Azon lehet vitatkozni, hogy ki a legnagyobb matematikus, de hogy ki érezte a leginkább, melyek azok a fontos problémák, amelyeken dolgozni kell, az mindenképpen ő volt." Ez a képesség az egész tudománytörténetben egyedülállóvá teszi Erdőst. Bollobás Béla, a Cambridge-i Egyetem neves professzora egy cikkében "a matematika Mozartjának" nevezte, de a fiatalokat szintén örömmel felkaroló nagy elődjére utalva emlegették "napjaink Leonhard Eulereként" is.
"Erdősnek fantasztikus érzéke van ahhoz, hogy az adott problémához megtalálja a megfelelő embert" - fejtette ki Csicsery György 1993-as portréfilmjében Bollobás. "Ezért profitál annyi matematikus a jelenlétéből. Minden levele munkára inspirál, minden telefonhívása olyan feladatokat vet fel, amelyek biztosan épp téged érdekelnek." Külön meglepő volt, hogy Erdős évek múltán is képes volt felvenni a fonalat. Az 1976-ban elhunyt Turán Pál felesége, a szintén akadémikus T. Sós Vera szerint, "ha dolgoztunk egy problémán, de abbahagytuk, és legközelebb két év múlva találkoztunk, emlékezett rá, hogy pontosan hol tartottunk. Ami fantasztikus, mert közben legalább ötven emberrel dolgozott együtt."
Erdős a tragikus sorsú magyar matematikusról, Szidon Simonról mesél el egy vicces történetet, amikor Turán Pállal együtt meglátogatták. Imádta az anekdotákat, újra meg újra elmesélte ugyanazokat, de az angol kiejtése mindig jellegzetesen nyers maradt
Erdőst annak ellenére sokan magányosnak látták, hogy nyilvánvalóan szerette a társaságot, és gyakorlatilag folyamatosan emberek között volt. Magyarországon egy hozzá közel álló szűk kör, amely Hajnal Andrásból, Simonovits Miklósból, Sárközy Andrásból és a már említett T. Sós Verából állt, jelentette a "családját": ha hazaérkezett, legalább az egyiküknek várnia kellett őt a reptéren. A kötődései azonban sajátosak voltak. Mesék Pali bácsiról című előadásában kedvenc tanítványa, a pályáját csodagyerekként kezdő Pósa Lajos megemlítette, hogy egy osztálytársa percekig kacagott, amikor ő a jelenlétében bontotta fel Erdős levelét. "A levél így kezdődött: 'Kedves Pósa Lajos! Remélem, jól vagy. Legyen N pozitív egész szám…' Szóval nem volt sok cicázás, rátért a lényegre. Így ment ez jó darabig" - emlékezett Pósa.
Erdős különleges egyénisége jórészt minden bizonnyal a gyerekkorával magyarázható. Amikor 1913. március 26-án, Budapesten megszületett, és édesanyjával a kórházban volt, huszonnégy óra leforgása alatt mindkét nővére meghalt szeptikus skarlátban. "Anyuka később sokszor említette, szerencse, hogy tanítania kellett, és így kénytelen volt összeszednie magát, de sohase tudta e szörnyű csapást elfelejteni" - írta Erdős 1996-ban, néhány hónappal a halála előtt. Ez valószínűleg hozzájárult ahhoz, hogy a szülei a széltől is óvták, és sokáig nem járt iskolába, hanem otthon tanult. Egyesek ennek tulajdonították, hogy a kézírása egész életében kissé gyerekes maradt, a gyakorlati érzéke pedig a nullához közelített: állítólag 11 éves koráig a cipőjét sem tudta önállóan megkötni, és 21 éves volt, amikor először megvajazott egy kenyeret. Bár kiválóan beszélt angolul (egyébként németül és valamelyest franciául, sőt egy kicsit héberül is), a kiejtése híresen csiszolatlan volt - alighanem azért, mert édesapjától tanulta, aki az első világháború alatti orosz hadifogságban, könyvekből sajátította el a nyelvet. Soha nem nősült meg, és a szexualitástól saját bevallása szerint irtózott, "anyukához" azonban végig nagyon erős szálak fűzték. Őt az 1960-as évektől gyakran magával vitte az utazásaira is.
Az érdeklődését szintén a szüleinek köszönheti, akik végzettségük szerint mindketten matematikatanárok voltak. Önmagát ugyan nem tekintette igazi csodagyereknek abban az értelemben, mint későbbi tanítványait, Pósa Lajost és Lovász Lászlót, de a számok iránti vonzalma rendkívül korán megnyilvánult. "Három-négy éves koromban már jól tudtam számolni, ugyanis akartam tudni, mikor lesz vakáció, és mikor nem kell Anyukának iskolába mennie" - mesélte. "A legnagyobb felfedezésem az volt, hogy négyéves koromban Anyukával közöltem: ha 100-ból kivonunk 250-et, 0 alatt 150-et kapunk, ezután Anyuka persze elmondta, hogy vannak negatív számok." Az alig néhány esztendős Erdős már könnyedén szorzott össze fejben három-, négyjegyű számokat, így a családhoz érkező vendégeket szívesen szórakoztatta azzal, hogy megkérdezte tőlük, mikor születtek, azután elárulta nekik az életkorukat másodpercben mérve.
Elemi iskolába nem járt, viszont a budapesti Szent István Gimnáziumban érettségizett, az 1894-ben alapított, ma is népszerű Középiskolai Matematikai Lapok (KöMaL) lelkes feladatmegoldója volt, és az egyetemen tagja lett a fiatal matematikusokat tömörítő Anonymus-csoportnak. A nevüket azért kapták, mert a Városligetben található Anonymus-szobornál szerettek találkozni, hogy megvitassák az őket éppen foglalkoztató problémákat. A csoport egyik tagja, Klein Eszter vetette fel például, hogy a síkon öt általános helyzetű pont (ez azt jelenti, hogy semelyik három nem esik egy egyenesre) közül mindig kiválasztható négy, amely konvex négyszöget alkot. Szekeres György pedig bebizonyította, hogy kilenc általános helyzetű pont között mindig van öt, amely konvex ötszöget formáz. Mivel Klein és Szekeres később összeházasodtak, Erdős ezt "Happy End-problémának" nevezte el.
A Happy End-probléma
A fenti két feladat általánosítható is: adott N pozitív egész szám esetén melyik legkisebb f(N)-re igaz, hogy a síkon f(N) általános helyzetű pont között mindig van N olyan, amely konvex N-szöget alkot. Tudjuk, hogy:
f(3) = 3
f(4) = 5
f(5) = 9
f(6) = 17
Tehát például 17 általános helyzetű pont között mindig van 6, amely konvex hatszöget alkot, de 16 között még nem feltétlenül. N > 6 esetében f(N) máig ismeretlen. Bár Erdős és Szekeres feltevése szerint
, ezt eddig senkinek nem sikerült bizonyítania.
Erdős 21 évesen, az egyetem elvégzésével egy időben, Fejér Lipótnál doktorált. Addigra már szerzett magának némi hírnevet, nem utolsósorban azzal, hogy 19 évesen bebizonyította a Csebisev-tételt, miszerint egy pozitív egész szám és a kétszerese között mindig van prímszám. Egy évvel később logaritmikus alsó korlátot is tudott adni a szomszédos prímszámok különbségére. A téma már tízesztendős kora óta érdekelte, amikor édesapja elmondta neki annak a bizonyítását, hogy végtelen sok prímszám van; 1949-ben aztán Atle Selberggel együtt sikerült elemi eszközökkel is igazolnia a prímszámtételt, amit előzőleg fél évszázadon át lehetetlennek tartottak.
Erdős egész életében szerette az elemi módszereket. Úgy vélte, létezik egy Nagy Könyv, amelyben össze van gyűjtve az összes tétel a hozzá tartozó legelegánsabb bizonyítással, s lehetőleg mindig ezt igyekezett megtalálni. A gondolatmenet szellemességét többre tartotta magánál az eredménynél, és az alkalmazások nem igazán érdekelték. A bizonyításokat a szépségük szerint, esztétikai alapon ítélte meg. Ettől függetlenül elképesztően termékeny volt: az évek során mintegy ezerötszáz cikke jelent meg a kombinatorika, gráf- és számelmélet, a geometria, a halmazelmélet, az approximációelmélet és az analízis területén. Noha ez egy nagyságrenddel több, mint bárkinek a kortársai közül, ő maga nem tulajdonított neki különösebb jelentőséget. "A régi magyar parlamentben, amelyben csak nemesek voltak, mondták, hogy nem számolni, hanem mérlegelni kell a szavazatokat. Ez a politikában nem volt helyes és demokratikus, de biztosan helyes a tudományban" - vallotta.
Végül a laikusok körében is igazi hírességgé vált, amit jól mutat, hogy Paul Hoffman róla írt életrajzi könyve, A prímember (eredeti, kissé megtévesztő címén: The man who only loved numbers) Nagy-Britanniában bestseller lett, és 15 nyelvre lefordították. Világjáró életmódja révén Erdős annyira sok - csaknem ötszáz - társszerzővel dolgozott együtt, hogy a matematikusok félig tréfásan megalkották az Erdős-szám fogalmát. Ezt a következőképpen kell elképzelni. Magának Erdősnek az Erdős-száma 0. Aki írt vele közös cikket, annak az Erdős-száma 1. Aki nem, viszont írt közös cikket olyannal, akinek az Erdős-száma 1, annak az Erdős-száma 2 - és így tovább. (Ha a matematikusokat pontokként ábrázoljuk, és egy párt akkor kötünk össze egy éllel, úgynevezett gráfot kapva, ha volt közös cikkük, valakinek az Erdős-száma tulajdonképpen nem más, mint az élek mentén vett legrövidebb távolsága Erdőstől.) Ezt egy külön projekt tartja nyilván, és sokáig úgy vélték, nem is él olyan matematikus a Földön, akinek az Erdős-száma nagyobb, mint 4, ma már azonban 15 a legnagyobb ismert érték. Albert Einsteiné egyébként mindössze 2 volt. A konstrukciót ki lehet terjeszteni úgy is, hogy aki N közös cikket írt vele, annak az Erdős-száma 1/N; a csúcstartó 1/62-del Sárközy András.
Erdős rengeteget segített a fiataloknak. Bárkivel szívesen találkozott, ha beajánlották neki, és ha tehetségesnek találta, onnantól kezdve gondosan nyomon követte a pályafutását. A gyerekeket - akiket a matematikában a kis mennyiségekre használt betűre utalva tréfásan csak epszilonnak nevezett - a felnőttekkel egyenrangú félként kezelte. "A gyerekeket, felnőtteket, és most inkább a gyerekekről beszélek, minden fontoskodás, minden kivagyiság nélkül teljesen egyenrangú partnernek tekintette. Ez a lényéből fakadt, nem szerep volt, egyszerűen így érezte" - mondta róla Pósa Lajos.
Egy elegáns megoldás
A képességeiket felmérendő Erdős előszeretettel adott különféle feladatokat a frissen felfedezett fiataloknak. Az egyik kedvencére, melyet annak idején Pósa Lajosnak is feladott, létezik egy pofonegyszerűen megérthető, de annál nehezebben megtalálható bizonyítás, ami annyira szellemes, hogy érdemes átgondolni. Az állítás szerint tetszőleges pozitív egész N-re igaz, hogy bármilyen módon választunk N+1 különböző számot 1 és 2N között, lesz közöttük két olyan, amelyek közül az egyik többszöröse a másiknak.
A bizonyítás ötlete a következő. Az 1, 2, 3, …, 2N számokat rendezzük sorokba a páratlan számokkal kezdődően:
1, 2, 4, 8, …
3, 6, 12, 24, …
5, 10, 20, 40, …
.
.
.
2N-1, 2*(2N-1), 4*(2N-1), 8*(2N-1), …
Mármost így 1 és 2N között az összes szám pontosan egy sorban szerepel, hiszen könnyű belátni, hogy minden szám egyértelműen áll elő egy páratlan szám és egy kettőhatvány szorzataként. Mivel N darab sor van, ha N+1 számot választunk, a skatulyaelv szerint biztosan lesz közöttük legalább kettő, amelyek egy sorba esnek - márpedig akkor a konstrukcióból adódóan (egy adott sorban mindegyik szám az előző kétszerese) a nagyobbnak a kisebb többszörösének kell lennie. Voilá, készen is vagyunk.
Kedves emberként emlékeznek rá; Katona Gyula, az MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet korábbi igazgatója szerint "az ajánlólevelei nem értek semmit sem, mert mindenkiről nagyon jókat írt és gondolt." A rászorulókat sokszor anyagilag is támogatta. Amikor egy tehetséges fiatalt az 1970-es években források híján nem akartak felvenni az intézetbe, Erdős felajánlotta, hogy fedezi a fizetését. Röviddel később ezer dollárt adott kölcsön a ma már befutott matematikusnak, Glen Whitney-nek, aki nem tudta előteremteni a Harvard elvégzéséhez szükséges tandíjat. Egy évtized múlva, amikor a hálás Whitney vissza akarta adni neki a pénzt, Erdős nem fogadta el, hanem azt üzente neki: fordítsa ugyanarra, mint ő. Az általa érdekesnek tartott megoldatlan problémákra gyakran pénzdíjat tűzött ki, eleinte csak jelképes összegeket, bár Szemerédinek később már egy ezerdolláros sejtését sikerült bizonyítania.
David G. Larman pedig felidézett egy sztorit az 1960-as évekből, amikor Erdős az éppen megkapott fizetésének zömét habozás nélkül egy londoni koldus kezébe nyomta. Csak azt tartotta meg magának, amire feltétlenül szüksége volt. Ennek fényében nem meglepő, hogy a San Franciscó-i St. Gregory episzkopális templom falfestményén Erdős összefogódzva táncol Lutherrel és Gandhival, az egyház hívei ugyanis őt is szentnek tekintik azon az alapon, hogy egész életét az emberiségnek áldozta.
Mindez híven kifejezte az anyagiakkal szembeni megrögzött közömbösségét. Erdős szinte modern Diogenészként élt, látványosan igénytelenül, két bőröndjében cipelve magával a világ körül mindent, amire szüksége volt. "Valamelyik francia szocialista azt mondta, hogy a magántulajdon lopás. Én azt mondom, nyűg" - jegyezte meg egyszer. A politika egyébként is nagyon foglalkoztatta. Magyarországról annak idején a fasizmus térhódítása miatt menekült el, kikeresztelkedni azonban édesanyja tanácsa ellenére sem volt hajlandó. "Zsidó voltom tulajdonképpen nem jelentett nekem semmit, de talán ösztönszerűleg nem szerettem, ha külső hatalmak dirigálnak" - indokolta a döntését. "Talán ez magyarázza későbbi mondásomat: sem Samu, sem József nem határozhatják meg, hogy mikor és hova utazhatok."
Samu nem volt más, mint Uncle Sam, vagyis az USA, József pedig - Sztálinra utalva - a Szovjetunió. Erdős akkor is szilárdan kitartott a meggyőződése mellett, ha ebből komoly kára származott. Az 1950-es években például az amerikai bevándorlási hivatal kérdésére, hogy olvasta-e Marx kommunista kiáltványát, igennel felelt, pedig tudta, hogy emiatt nem fog újabb vízumot kapni az országba, ahol előzőleg már éveken át élt. Így is történt: több mint egy évtizedig nem térhetett vissza. "A saját törvényei szerint élt, vitába szállt államokkal is" - mondta róla Simonovits Miklós, az MTA rendes tagja. "Egy átlagember reggeltől estig kompromisszumokat vállal, van, aki többet, van, aki kevesebbet. Ez a kompromisszum nem-vállalása volt az, amitől másnak tűnt, mint a legtöbben."
A Ramsey-tétel
Erdős különösen a kombinatorikában alkotott kiemelkedőt, és rendkívül sokat foglalkozott Ramsey-típusú problémákkal. Ezeknek a legismertebb speciális esete az, hogy bármely a és b pozitív egész számhoz létezik egy olyan legkisebb R(a,b) - tehát csak a-tól és b-től függő - pozitív egész szám, hogy ha egy R(a,b) pontból álló teljes gráf (minden pontpárt összeköt egy él) éleit kékkel és pirossal kiszínezzük, biztosan lesz a olyan pont, amelyek között minden él kék, vagy b olyan pont, amelyek között minden él piros.
Felettébb érdekes nézeteket vallott például a vallásról is. Nem egyszerűen ateista volt, hanem félig viccesen úgy emlegette Istent, mint "a Legfelsőbb Fasisztát" (SF = Supreme Fascist), akinek az a célja, hogy kiszúrjon az emberekkel. Az általa elképzelt játék szerint, ha valaki rosszat követ el, az SF 2 pontot kap. Ha nem teszi meg azt a jót, amit megtehetne, az SF-nek azért is jár 1 pont. Erdős úgy vélte, az élet célja, hogy "az SF pontszáma minél alacsonyabb legyen." Ugyanakkor egy kérdésre azt válaszolta, hogy a szemlélete nem pesszimista, csak "hát rövid ideig él az ember, azután sokáig halott". Sajátos, egyéni nyelvezetet használt, amelyben a "meghalt" például azt jelentette, hogy valaki abbahagyta a matematikai kutatást. Az életét kétségkívül a tudomány töltötte ki, de "amatőr szinten", ahogy ő fogalmazott, szinte minden érdekelte, és szívesen pingpongozott, sőt Coloradóban megmászott egy 4300 méteres hegyet.
Erdős Pál az utolsó pillanatig aktív volt, 1996. szeptember 20-án a végzetes szívroham is egy varsói konferencián érte. Kollégái úgy vélik, tovább élhetett volna, ha nem pörgeti túl magát, napi 14-15 órát foglalkozva matematikával, de hiába próbálták lazításra biztatni, rendszerint azzal felelt, hogy "a sírban lesz még elég időnk pihenni." Saját magának fogalmazott sírfelirata így szólt: "Végre nem butulok tovább", ami annak fényében, hogy a felfogása még nyolcvanon túl is sokszorosan gyorsabb volt az átlagos matematikusénál, első hallásra álszerénységnek tűnhet. Pedig valójában csak annyit bizonyít, hogy mint minden kiemelkedően tehetséges embert, Erdőst sem lehetett mások mércéjével megítélni.
Egy régi legenda szerint I. Ptolemaiosz megkérdezte Eukleidésztől, hogyan lehet a leggyorsabban elsajátítani a geometriát, mire a híres tudós rávágta: "A matematikához nem vezet királyi út!" Azt mindenkinek tanulnia kell. Mégis, mondta Pósa Lajos, Erdősé "valamilyen értelemben királyi út volt. A témakör rendes felépítését mellőzve, a részletek szisztematikus átgondolása nélkül, egy-egy érdekes feladattal jutott el az aktuális problémákhoz. Nem minden területen lehetséges ez, de ahol ő tette, ott az volt."
"Anyám egyszer azt mondta: 'Még te is, Pál, egyszerre csak egy helyen lehetsz.' Talán, ha egyszer elköltözöm ebből a világból, képes leszek egy időben több helyen lenni. Talán majd együtt dolgozhatok Arkhimédésszel és Eukleidésszel" - írta Erdős. Úgy vélte, a matematika a legbiztosabb módszer a halhatatlanságra; egy jelentős felfedezésre mindig emlékezni fognak.
Az élő matematikusok Erdős-száma a jövőben csak nőni fog, hiszen többé senki nem írhat közös cikket vele. A legkisebb szám, ahogy telik az idő, immár örökké azt fogja kifejezni, hogy hány generáció telt el Erdős Pál óta, s így a végtelenhez tartva őrzi majd a nyughatatlanul utazó tudós emlékét. De őt, aki már most is ott van, nem érheti utol.