Wendelin Werner

Véletlen rendszerek

Sok olyan nagyon nagy számú elemből álló rendszer létezik, melyben az elemek egyenként véletlenszerűen viselkednek. Megvizsgálhatjuk azonban ezeknek a rendszereknek a "kollektív", magasabb szintű tulajdonságait is. Kiindulhatunk például az olyan fizikai rendszerekből, melyekben az alacsony szintű rendezetlen struktúrákból szervezettebb, magasabb szintű rendszerek alakulnak ki. Az előadás bemutatja, hogyan lehet matematikailag leírni az ilyen rendszereket.

I. Mire mondjuk, hogy véletlenszerű?
A kérdés nem filozófiai, inkább hétköznapi: mit is jelent az, hogy valami véletlen; mit tekintünk véletlennek? A bennünket körülvevő világ számos példát kínál véletlenszerű viselkedésre: előre nem tudhatjuk, hogy egy érme feldobásának eredménye fej lesz vagy írás, de a kártyajátékok leosztásait is véletlenszerűnek gondoljuk. Vagy vehetünk egy biológiai példát: milyen utód születik a szülők génjeiből?

II. Véletlenszerű bolyongás
Képzeljünk el egy koordinátarendszert, amelynek vízszintes tengelye mentén jobbra felfelé vagy jobbra lefelé lépkedhetünk. Vegyünk egy pénzérmét, és feldobással döntsük el, hogy melyik irányba lépünk: ha fej, akkor jobbra fel, ha írás, akkor jobbra lefelé. A lépéseket rögzítő útvonalat matematikai értelemben egy véletlen függvény grafikonjának tekinthetjük. A nagy számok törvénye azt állítja, hogy a nagy lépésszámú lehetséges bolyongások grafikonjainak jelentős része nagyjából vízszintes vonalat eredményez. Ez tehát egy olyan rendszer, amely mikroszkopikus szinten - az érmefeldobás eredményét tekintve - véletlenszerűséget mutat, makroszkopikus szinten pedig determinisztikus.

III. Fürdőszoba burkolása mozaiklapokkal
Képzeljük el, hogy van egy szabályos hatszög alakú fürdőszobánk, amelyet szeretnénk kicsempézni. A feladathoz három különböző típusú rombusz alakú burkolólapot használhatunk fel. A hatszög csúcsaihoz illeszkedő rombuszok a hosszabbik átlójuk irányát tekintve háromféle tájolásúak lehetnek, ennek megfelelően legyenek különböző színűek. A csempézés eredményeként a hatszög csúcsainál "befagyott" (homogén színű) régiók lesznek. A belső részen viszont bizonyos fokú rendezetlenséget tapasztalunk és ennek a belső régiónak az alakja körhöz közelít. Ezek olyan determinisztikus tulajdonságok, melyek matematikai tételben is megfogalmazhatók.

IV. Makroszkopikusan véletlen rendszerek
Tételezzük fel, hogy érmét dobálunk: 101-szer feldobjuk, és azt vizsgáljuk, vajon a fej vagy az írás fordul-e elő többször. A szimmetria okán (hiszen nincs semmilyen elvi különbség fej és írás között) a válasz az, hogy 50 % esély van arra, hogy több lesz a fej, és 50 % arra, hogy több az írás. 50-50 % az esély akkor is, ha 1000001-szer dobjuk fel az érmét. A rendszer tehát kis léptékben és makroszkopikusan egyaránt véletlenszerűnek mutatkozik.

V. Az átszivárgás (perkoláció) jelensége
Vegyünk egy egyforma szabályos hatszögekkel lefedett rácsot és a hatszögcellákat érmefeldobás eredménye szerint színezzük fehérre (fej) vagy feketére (írás). Ebben a nagy rendezetlenségben válasszunk ki egy rombusz alakú részletet. Legyenek a rombusz egyik oldalélén csupa fehér hatszögek, hasonlóképpen az átellenes oldalon is csupa fehérek. A másik két átellenes oldalél pedig legyen csupa fekete. Vizsgáljuk meg, hogy a pénzfeldobás szerint véletlenszerűen fehérre vagy feketére festett cellák rendszerében van-e fehér mezőkből álló összeköttetés az átellenes fehér oldalak között, vagy hasonlóan: van-e fekete mezőkből álló összeköttetés a két átellenes fekete oldalél között. A szimmetria okán kijelenthető, hogy 50-50 % az esélye annak, hogy fekete vagy fehér összeköttetést találjunk.

VI. A kávéfőzés matematikája
A "perkoláció" matematikai kifejezés a kávéfőzőre utal: a kávéfőzés egy jó példa arra, hogyan fogalmazható meg az átszivárgás matematikai problémája: a felforrósított nagynyomású víz a hőmérséklet emelkedésével egy kritikus ponton képes lesz áthaladni a kávéőrleményen. Persze nem egyenes útról van szó, hanem sokkal hosszabbról. Ezért erősebb a presszógépben főzött kávé, hiszen sokkal hosszabb utat kell megtennie az őrleményen keresztül, szemben a filteres kávéval.

Tovább