Laczkovich Miklós

Mi a matematika? - A matematikai igazságról

I. Van-e abszolút igazság?

1. ábra

Dialógus a matematikárólDialógus

A mindennapi élet igazságai tehát bizonytalanok, ellenőrizhetetlenek, gyakran megállapíthatatlanok. Pilátus kérdése: "micsoda az igazság?" is valami ilyesmire vonatkozik. (A modern fordítások hozzáteszik, hogy Pilátus legyint vagy vállat von, amikor ezt kérdezi. A kérdés csak Jánosnál szerepel; jellemző, hogy a valóságra vonatkozó igazság megkérdőjelezését éppen egy görög szerző tartotta fontosnak beilleszteni a történetbe.) Ha tehát abszolút igazságot keresünk, csak a szellemi világban találhatjuk meg. De melyikben? A vallások igazságai ellentmondanak egymásnak, a filozófia igazságai úgyszintén. A társadalomtudományok igazságai gyakran az ideológia, az eszmei alapállás függvényei. Maradnának a "kemény" természettudományok. Ezeknél viszont az új kísérleti eredmények folyton módosítják vagy pontosítják a korábban megállapított igazságokat, néha meg éppenséggel felrúgják azokat (ezt szokták "paradigmaváltásnak" nevezni).

Úgy tűnik tehát, hogy csakis a matematika képes abszolút és megdönthetetlen igazságokat megállapítani. Milyen módon teszi ezt? Térjünk vissza a Dialógushoz. Szókratész rávilágít, hogy ennek a titka abban áll, hogy a matematika nem a bizonytalan és megfoghatatlan létezőkkel, hanem "elgondolt dolgokkal" (számokkal és absztrakt formákkal) foglalkozik, amelyeket precízen definiál minden kétértelműség nélkül, éppen azért és úgy, hogy a róluk megállapított igazságok megkérdőjelezhetetlenek legyenek. "Így könnyű!" - mondhatnánk erre. És valóban, így tekintve a matematika nem más, mint absztrakt fogalmakkal való játék, és ha az igazságai abszolútak is, az igazságainak érvénye egy elvont, távoli, nem létező világra szorítkozik. Mi értelme van ennek? Nos, erre a kérdésre Szókratész így válaszol a Dialógusban: a matematika igazságai végül is a valóságról szólnak. Ha a kör egy tulajdonságát megismerjük, ezzel minden kör alakú dologról megtudunk valamit. Éppen azért kell elvonatkoztatni, hogy a részletek ne zavarjanak. A valóság bonyolult viszonyait tesszük átláthatóvá és vizsgálhatóvá, ha messzebbről nézve, az absztraktum felől tekintünk rájuk. Mint tudjuk, Galilei egyenesen úgy fogalmazott (bár nem pontosan ezekkel a szavakkal), hogy a természet nyelve a matematika.

Meg kell azonban jegyezni, hogy nem mindenkit győz meg ez az egyszerűnek látszó érvelés. Wigner Jenő egy híres tanulmányában ezt a kérdést boncolgatva így fogalmaz: "A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem is érdemlünk meg." Mégis, a matematika és a valóság szoros kapcsolata kétségbevonhatatlan. Mindenki tudja, hogy a matematika eredményei nélkül nem lennének hidak, mobiltelefonok és nem lenne internet. De a kapcsolat fordítva is létezik: a matematika fejlődésének egyes forradalmi szakaszait (bár nem mindegyiket) egyértelműen a valóság megismerésének a vágya motiválta. Ilyen forradalom volt a kalkulus (a differenciál- és integrálszámítás) és a valószínűségszámítás megalkotása a 17. században, a modern analízis fejlődése a 18. és 19. században vagy a kombinatorika és a dinamikus rendszerek elméletének megteremtése a 20. században.

A matematikus tehát abszolút igazságokat kutat. Hogyan csinálja ezt? Lehet-e még új igazságokra bukkanni a matematikában? Egyáltalán, mivel foglalkozik egy matematikus? Nos, a matematikusok problémákat oldanak meg és elméleteket gyártanak. Ez a két tevékenység tulajdonképpen ugyanaz: egy nehéz probléma megoldásához általában elméletet kell gyártani (vagy a módszerből elmélet lesz később), egy elmélet megalkotása pedig sok kis lépésből áll, és minden lépés egy-egy probléma megoldását jelenti. Itt nincs mód arra, hogy az elméletalkotást illusztráljam vagy bemutassam. De a matematikai problémák közül néhányat meg tudok mutatni.