Katona Gyula

Hogyan lett "magyar matematika" a kombinatorika?

IV. Sakkjátszmák párosítása - avagy miért kellett elhalasztani az 1883-as Nürnbergi Tornát?

A sakkversenyek rendezéséhez is kell gráfelmélet. A játékosok a pontok, az összekötések
a játszmák. Tegyük fel, hogy páros sok versenyzővel akarunk körmérkőzést lebonyolítani. Azt szeretnénk, hogy minden nap mindenki játsszék valakivel, és néhány nap után előálljon az a helyzet, hogy mindenki mindenkivel pont egyszer játszott. Most azzal nem törődünk, hogy hányszor játszottak világossal. n=6 esetén ezt a következő animáción bemutatott módon lehet megoldani.

Animáció: Sakkjátszmák 6 játékossal 5 fordulóban

De nem olyan nyilvánvaló, hogy ezt meg lehet csinálni! Például a rossz versenyrendező az első három fordulóban így játszatta a játékosokat:

Animáció: Sakkjátszmák kiosztása helytelenül

Ekkor a negyedik forduló nem tehető teljessé. Ugyanis minden olyan mérkőzést lejátszottak már, ahol a fenti sorrendben szomszédos vagy szemközti játékosok sakkoznak. Tehát a negyedik forduló párosításában egymástól csak második helyen levők játszhatnak. Ilyenekből azonban nem hozható ki egy teljes forduló, azaz 3 olyan párosítás, amiben 6 különböző játékos van. Ezért már régen táblázatok alapján rendezik a versenyeket. Nagy feltűnést keltett, amikor 1883-ban a Nürnbergi Torna kezdését el kellett halasztani, mert Schallopp nagymester, a táblázat készítője otthon felejtette a táblázatot. Persze a matematikában már akkor ismert volt, hogyan kell ezt megcsinálni.

Most képzeljük el, hogy 6 ember - jelöljük őket A, B, C, D, E, és F betűkkel - el akarja dönteni, hogy melyikük a legjobb ultijátékos, úgy, hogy mindig hárman ülnek le játszani. Hogyan lesz ez igazságos? Úgy, ha minden egyes játékos kipróbálhatja erejét bármely másik kettő ellen. Azaz bármelyik hármas részt vesz pontosan egy meccsen. Ha egy fordulóban valamelyik 3 mérkőzik, velük egyidejűleg a másik három is mérkőzhet egymással. Mivel a hármasok száma pontosan 20, egy fordulóban két hármas játszik, a fordulók száma legalább 10. A következő animáció segítségével könnyen belátható, hogy 10 fordulóban ezt meg is lehet csinálni.

Animáció: Három fős csapatok alakítása hat főből, 10 fordulóban