I. Az elliptikus görbe fogalma
koordinátarendszerPPDescartes állítólag egyik betegsége alkalmával jutott el a koordináták gondolatához. Az ágyában feküdt és nézte a legyeket a mennyezeten. Észrevette, hogy egy légy helyzete pontosan megadható úgy, hogy megmondjuk két egymásra merőleges faltól való távolságát. A koordinátarendszer rendkívül termékeny gondolatnak bizonyult: segítségével a geometriai alakzatokat számokkal írhatjuk le, és így a geometriai kérdések vizsgálatában a számokat, és rajtuk keresztül az algebrát is munkába foghatjuk.
egyenlety=x+x-2y2x0,y0y0=x0 x és yAz egyenes egyenlete elsőfokú, a köré másodfokú. A jelen előadás tárgya bizonyos értelemben a következő lépést jelenti. Az elliptikus görbék ugyanis olyan síkbeli görbék, amelyeknek az egyenlete alkalmasan választott koordinátarendszerben y2=x3+ax+b, ahol az a,b számokról annyit kötünk ki, hogy