Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

III. Számolás maradékokkal

7. ábra

ppppp

Értelmezhetjük két maradék összegét úgy, hogy összeadjuk őket mint egészeket, majd vesszük az eredmény p-vel való osztási maradékát. A p=5 esetben például a 2 és 3 maradékok összege az 5 maradéka, ami 0. Ugyanígy, a 4 és 3 összege pedig a 7 osztási maradéka, vagyis 2. A következő táblázat mutatja a maradékok összegeit a p=5 esetben.

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

1. táblázat: Osztási maradékok összegei p=5 esetében

Hasonlóan értelmezhetjük két maradék szorzatát: összeszorozzuk őket mint egészeket, majd vesszük a szorzat p-vel való osztási maradékát. Így néz ki a szorzótábla, amikor p=5:

X	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

2. táblázat: Osztási maradékok szorzótáblája p=5 esetében

Az összeadás, a kivonás és a szorzás tehát elvégezhető maradékok között is. A műveletekre vonatkozó legtöbb, a valós számok világából ismerős szabály itt is érvényben marad. Mi a helyzet az osztással? Az osztás maradékok körében általában nem végezhető el értelmesen (p=6 esetén pl. nincs olyan maradék, amely az 1/2 szerepét játszhatná, azaz amelynek a 2-szerese 1 lenne). Ha viszont a p prímszám, tehát olyan egynél nagyobb egész, amely nem kapható meg nála kisebb pozitív egész számok szorzataként, akkor kedvezőbb a kép: minden nem 0 maradékkal lehet osztani. Például ha p=5 akkor az 1 és 3 maradékok hányadosaként szemlélhetjük a 2 maradékot, hiszen a maradékok körében a szorzótáblánk szerint 2^.3=1. Az előzőeket tehát úgy foglalhatjuk össze, hogy ha p prímszám, akkor a 0, 1, ... , p-1 maradékokkal a négy alapművelet - a nullával való osztást kivéve - elvégezhető.