Staunton 1969. január 19-én született Droghedában, és fiatalon nem csak a labdarúgással, hanem a helyi specialitásnak számító "gaelic footballal" is foglalkozott, amelyben szintén bajnok volt. Pályafutását a Dundalkben kezdte el, de itt csak három meccsen szerepelt a felnőttek között, mert 1986 augusztusában leigazolta őt a Liverpool. A Vörösök előbb kölcsönadták őt a Bradford Citynek, a liverpooli gárdában pedig csak 1988-ban mutatkozott be. Ugyanebben az esztendőben mutatkozott be a válogatottban, 1990-ben ráadásul ott volt az írekkel a világbajnokságon.
1991 nyarán az Aston Villába igazolt, s a birminghami együttesben hét szezont húzott le. Időközben 1993-ban az év legjobb ír labdarúgójának választották meg, majd szerepelt az 1994-es World Cupon. A Villában olyan jó teljesítmény nyújtott, hogy a Liverpool 1998 nyarán visszahívta. Első idényében meglehetősen sokat szerepelt a csapatban, de a következőben már csak elvétve vetették be. 2000 decemberében kölcsönadták a Crystal Palace-nak, majd ismét Birmingham felé vette az irányt, pályafutása során másodszor is a Liverpoolból az Aston Villába szerződött. Karrierje elején leginkább balhátvédként szerepelt, de az utóbbi időben középső védőt játszik. A világbajnokságon ünnepelte századik válogatottságát, a vébét követően pedig vissza is vonult a nemzeti csapattól, de klubjában tovább játszik, mégpedig nem is rosszul.