Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

I. Az elliptikus görbe fogalma

1. ábra

koordinátarendszerPP

Descartes állítólag egyik betegsége alkalmával jutott el a koordináták gondolatához. Az ágyában feküdt és nézte a legyeket a mennyezeten. Észrevette, hogy egy légy helyzete pontosan megadható úgy, hogy megmondjuk két egymásra merőleges faltól való távolságát. A koordinátarendszer rendkívül termékeny gondolatnak bizonyult: segítségével a geometriai alakzatokat számokkal írhatjuk le, és így a geometriai kérdések vizsgálatában a számokat, és rajtuk keresztül az algebrát is munkába foghatjuk.

2. ábra

egyenlety=x+x-²y²x₀,y₀y₀=x₀ x és y

Az egyenes egyenlete elsőfokú, a köré másodfokú. A jelen előadás tárgya bizonyos értelemben a következő lépést jelenti. Az elliptikus görbék ugyanis olyan síkbeli görbék, amelyeknek az egyenlete alkalmasan választott koordinátarendszerben y²=x³+ax+b, ahol az a,b számokról annyit kötünk ki, hogy

Weierstrass-egyenleta,bsima