Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

VII. Elliptikus rejtjelezés

Most az elliptikus görbék egy fontos gyakorlati alkalmazásról szeretnék szólni. Az illetéktelen hozzáféréssel szemben biztonságos információcsere, a kriptográfia világába teszünk kirándulást.

Az információs társadalom kibontakozásának korát éljük. Egyre több teendőnket végezhetjük számítógépes hálózatokon keresztül való információcserével. Így levelezhetünk ismerőseinkkel, intézhetjük hivatali ügyeinket, kezelhetjük a bankszámlánkat vagy éppen vásárolhatunk a világhálón. Az itt említett tevékenységek kapcsán elemi elvárás, hogy az üzenetváltásaink titkosak legyenek. Titkosak abban az értelemben, hogy illetéktelenek ne tudják meg az üzeneteink tartalmát. Ebben segít a titkos kommunikáció elmélete és gyakorlata, a kriptográfia. Az illetéktelen hozzáféréssel szemben biztonságos kommunikáció sokáig elsősorban a politikusok és a katonák ügye volt. Mára azonban a széleskörű igények és a rohamos fejlődés hatására az infokommunikációs ipar virágzó, milliárd dolláros forgalmú ágává nőtte ki magát.

A kriptográfiai titkosító (rejtjelező) eljárások tekintélyes része matematikai struktúrára alapoz. A kriptográfusok sajátos, kettős szemlélettel nézik a matematikai és számítási feladatok világát. Olyan, egymással szoros kapcsolatban levő számítási feladatpárokat keresnek, amelyek közül az egyik könnyű abban az értelemben, hogy megfelelő számítógép segítségével gyorsan megoldható; ezzel szemben a másik nehéz: igen komoly számítási erőforrásokkal sem oldható meg hatékonyan. A könnyű feladat felel meg a rejtjelezésnek és a másik oldalon a jogosult megfejtésnek. Ennek tényleg gyorsan kell mennie: senki sem szeretne órákig várni, amíg a rendszer elfogadja jelszavát, PIN-kódját stb. Ha a titkosító eljárást helyesen alakították ki, akkor a nehéz feladat felel meg az illetéktelen kíváncsiskodó próbálkozásainak. Azt várjuk, hogy a titok megfejtéséhez csak reménytelenül sok munka árán juthasson el.

Az első, a könnyűségi feltétel általában egyszerűbben biztosítható. A hatékonyság mérésére, biztosítására erős eszközökkel rendelkezik a számítástudomány. A nehézségi feltétellel korántsem állunk ilyen szerencsésen. Itt egyelőre nem ismerünk igazán használható elméleti garanciákat. Nincsenek olyan elvi eredmények, amelyek szavatolnák, hogy a szóba jövő matematikai rejtvények tényleg csak nehezen fejthetők meg. Ezért a rejtjelezést olyan matematikai feladatokhoz igyekeznek kötni, amelyek régóta ismertek, és amelyek megoldására komoly próbálkozások ellenére sincs elég gyors módszer. Elméleti garanciák tehát itt nem ismertek, ugyanakkor meggyőző tapasztalati bizonyítékot jelent az ilyen rejtvények gyors megoldására irányuló törekvések eddigi kudarca, valamint az a tény, hogy több helyen is sikerrel és eredményesen alkalmaznak matematikai kriptográfiai módszereket.