Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

A sejtés egyszerűsége és szépsége sokak fantáziáját megmozgatta híres matematikusoktól egészen az amatőrökig. A bizonyítására irányuló rengeteg erőfeszítés és a sok csillogóan szép részeredmény ellenére a megoldás még a 20. század nyolcvanas éveinek közepén is elérhetetlenül messzinek tűnt.

Az idők folyamán értékes díjakat tűztek ki a megoldó jutalmazására; ezek közül talán legismertebb az 1908-ban Németországban alapított Wolfskehl-díj. A népszerűség árnyoldalaként elképesztő számú hibás bizonyítás született. Csak az 1908-1912 közötti időszakban ezer felett volt a hibás kísérletek száma. Aztán jöttek az elliptikus görbék. 1955-ben egy fiatal japán matematikus, Taniyama Yutaka merészen hangzó sejtést fogalmazott meg a racionális együtthatós elliptikus görbékről. Később ezt Shimura Goro japán és André Weil francia kutatók finomították. A sejtést ezért Taniyama-Shimura-Weil-sejtésnek (röviden TSW-sejtés) fogjuk nevezni. A TSW-sejtésről itt dióhéjban annyit mondunk, hogy megfogalmazható pusztán a racionális együtthatós E görbéhez tartozó N₂, N₃, N₅, N₇, N₁₁, N₁₃, N₁₇,.. számsor tulajdonságaként. Ennek a pontos (és bonyolult) leírása túlmegy az előadás keretein. Olyasmit állít, hogy az N_p sorozat erős szabályszerűséget, mintázatot mutat. (A sejtésnek ezt a megközelítését Henri Darmon és Claude Levesque javasolta.)

13. ábra

Ey²x³N_pN_p = p + ppN_pp

A következő fontos esemény már összefűzi a Fermat-sejtés és az elliptikus görbék történetét. 1985-ben Gerhard Frey német matematikus az
xⁿ + yⁿ = zⁿ Fermat-egyenlet tanulmányozása során csavaros gondolatra jutott. Feltételezte, hogy a Fermat-sejtés hamis, és egy ebből adódó alkalmas n,a,b,c megoldáshoz a következő egész együtthatós elliptikus görbét rendelte (ún. Frey-görbe): y² = x(x - aⁿ)(x + bⁿ). A német kutatót vizsgálatai ahhoz a meggyőződéshez vezették, hogy a Frey-görbékre nem teljesülhet a TSW-sejtés. Frey elképzelései a francia Jean-Pierre Serre és az amerikai Kenneth A. Ribet munkája nyomán szabatos érveléssé értek: világossá vált, hogy a TSW-sejtésből következik a Fermat-sejtés. Ez akkoriban nagy port vert fel - egyelőre még csak a matematikusok körében. Sok helyen taglalták izgalommal és csodálkozva, hogy a magas fokú Fermat-egyenlet megoldhatóságának kérdése harmadfokú egyenletekhez, elliptikus görbékhez köthető.