Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

14. ábra

15. ábra

Andrew Wiles (14-15. ábra) ekkor kezdett el dolgozni a Fermat-sejtésen, pontosabban a TSW-sejtésen. A kérdés igazán jó kezekbe került. Wiles ugyanis a pályája kezdete óta foglalkozik az elliptikus görbék számelméleti tulajdonságaival. Első híres eredményét 1977-ben, 24 esztendős korában tanárával, John Coatesszal közösen érte el. A Coates-Wiles-tétel ma is az egyik legfontosabb eredmény a Birch-Swinnerton-Dyer-sejtés gondolatkörében. A princetoni egyetem professzoraként már régóta a témakör egyik vezető tekintélyének számított, amikor belefogott a nagy vállalkozásba.

Wiles tíz éves volt, amikor megigézte a Fermat-sejtés különös varázsa (Eric Temple Bell The Last Problem című könyvében találkozott vele). A Frey-görbével kapcsolatos eredmények nyomán úgy vélte, hogy gyermekkori álmát, a sejtés megoldását számára ismerős terepen, az elliptikus görbék világában kísérelheti meg. Hét esztendeig küzdött a TSW-sejtéssel teljesen egyedül és szinte titokban. Még a legközelebbi kollégái, ismerősei sem tudtak a dologról. Csaknem a semmiből kellett indulnia. Ennek érzékeltetésére annyit jegyzünk meg, hogy Wiles előtt mintegy 20 évig nem történt érdemi előrelépés a TSW-sejtéssel kapcsolatban. Wiles később úgy beszélt hosszú, magányos munkájáról, mint valami ismeretlen, teljesen sötét kastély bejárásáról, felfedezéséről.

1993 nyarán jelentette be, hogy bizonyítani tudja a TSW-sejtést, ha nem is minden racionális együtthatós görbére, de görbék egy elég nagy osztályára. Ebbe az osztályba, ha léteznének, beletartoznának a Frey-görbék is; amiből pedig következik, hogy igaz a Fermat-sejtés!

A bizonyítás hírét hallatlan lelkesedéssel fogadta a világ. Napilapok taglalták a sejtés történetét. A szakértők elragadtatott hangnemben méltatták Wiles csodálatos bizonyítását. Erre a hangulatra talán jellemző apró adalék, hogy az egyik népszerűsítő előadás alkalmával jegyüzérek jelentek meg és többszörös áron adták el az előadásra szóló jegyeket.

Néhány hónappal később komor fordulat következett a történetben. Kiderült, hogy egy jelentős hiányosság van Wiles érvelésében. Ezt azonban egykori diákjával, Richard Taylorral együttműködve sikerült kiküszöbölnie. Az eredmény két tudományos dolgozat formájában jelent meg 1995-ben az Annals of Mathematics májusi számában. Az egyik - a hosszabb - tartalmazza Wiles hétesztendei munkájának az eredményeit. A másikban kapott helyet a korábbi hibás láncszemet pótló érvelés, melynek Taylor a társszerzője.

Grandiózus munkájáért Wiles egy sor kitüntetésben részesült. Birtokosa egyebek között a nagy presztízsű, több más tudományterületen a Nobel-díj előszobájának tekintett tudományos kitüntetésnek, a Wolf-díjnak. (A Magyarországon dolgozó kutatók közül eddig ketten nyerték el a Wolf-díjat, mindketten matematikusok: Erdős Pál és Lovász László.) 2000 óta a brit birodalom lovagja: hivatalosan tehát ma már Sir Andrew Wiles a neve.

A teljes TSW-sejtést Wiles úttörő munkájára építve Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond és Richard Taylor bizonyították (Breuil kivételével Wiles egykori princetoni diákjai). 2001 óta tehát ismert, hogy minden racionális együtthatós elliptikus görbére igaz a sejtés. A TSW-sejtés megoldása a számelmélet 20. századi fejlődését megkoronázó csúcsteljesítmény. Már ma is elmondható, hogy hatalmas lendületet adott egy sor fontos kutatásnak. Ezek közül talán a legfontosabb a Langlands-program. Ez egy merész sejtések sorából álló építmény, amely különös, mély összefüggéseket jósol a matematika egymástól távolinak tűnő területei között. A program matematikusok generációinak adhat tartalmas, kemény munkát.

A TSW-sejtés megoldásával kezelhetové vált a Fermat-egyenlet több rokona. Szép és hazai vonatkozású példaként említhetjük, hogy Győry Kálmán professzor és munkatársai eredményesen vizsgálták néhány ilyen egyenlet egész megoldásait.