Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

VI. A Fermat-sejtés

11. ábra

Fermat-sejtés

Videó: Jelenet a Fermat utolsó tangója c. musicalből

A Fermat-sejtés - ma már Wiles-tétel -, igen egyszerűen hangzik: ha n kettőnél nagyobb egész, akkor nincsenek olyan a,b,c pozitív egészek, amelyekre aⁿ + bⁿ = cⁿ teljesül.

A sejtés történetét tanulmányozva i.e. 250-ig érdemes visszatekinteni. Ekkortájt született az alexandriai Diophantosz híres műve, az Aritmetika, amely tudomásunk szerint először adott közre rendszerbe foglalva számelméleti és algebrai eredményeket. Az Aritmetika II. könyvében szerepel a következő feladat: osszunk fel egy adott négyzetet két négyzetre. A feladat és a Diophantosz által közölt megoldás a következő pontosabb megfogalmazást sugallja: keressük az x² + y² = z² egyenlet egész megoldásait, szokásos nevükön a pithagoraszi számhármasokat. Nem nehéz megmutatni, hogy végtelen sok ilyen hármas van, például az x=3, y=4, z=5 egy jól ismert megoldás.

12. ábra

Fermat olvasta az Aritmetikát, mégpedig komoly figyelemmel. Erre a kötetbe írt számos megjegyzéséből következtethetünk. A négyzet felosztására vonatkozó, imént idézett részhez az alábbi széljegyzetet fűzte: "Nincsen mód viszont felosztani köböt két köbre, sem négyzetes négyzetet két négyzetes négyzetre, és általában a négyzeten túl a végtelenig semmiféle hatványt két ugyanolyan nevezetűre; mely dolognak igazán csudálatos bizonyítását találtam. Szűkebb a margó, semhogy befogadná." (Bródy Ferenc fordítása) Ez a Fermat-sejtés eredeti megfogalmazása. Fermat tehát azt is állította, hogy sejtését bizonyítani tudja. Ilyen gondolatmenetet viszont az utána eltelt mintegy 350 esztendőben senki sem tudott találni. Ezért általános a vélemény, hogy Fermat valószínűleg tévedett, elnézett valamit, és nem volt "igazán csudálatos bizonyítása".