Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

V. Egymillió dolláros kérdés: Birch és Swinnerton-Dyer sejtése

A matematikában szinte a kezdetektől fogva fontos szerepet játszottak az egyenletek, megoldásaik és a megoldásukra szolgáló módszerek. Az egyváltozós egyenletek közül középiskolában megismerkedünk az első- és másodfokú egyenletekkel. A magasabb fokúak már nem részei a hagyományos tananyagnak. A matematikusoknak ezek sem okoznak sok fejfájást. A velük kapcsolatos alapvető kérdésekre elfogadható válaszokat ismerünk.

Lépjünk eggyel tovább! A kétváltozós egyenletek felelnek meg a görbéknek, mint amilyenek az egyenesek, a körök, vagy éppen az elliptikus görbék. Az egyenlet egy megoldása a görbe egy pontját adja meg. Az egyenletek megoldásakor gyakori követelmény, hogy a megoldás számai egy szűkebb halmazból kerüljenek ki. Például, ha az egyenletben x valaminek a darabszámát jelenti, akkor a megoldásban csak a nem negatív egész x értékek érdekesek számunkra. Az ebben az értelemben megszorított kétváltozós egyenletek világában meglepően egyszerűnek tűnő, ám mind ez ideig megválaszolatlan kérdésekkel is találkozhatunk. Ilyen kérdés a következő: legyen f(x,y) olyan algebrai kifejezés, amelyet az x,y változókból és egész számokból építettünk fel összeadás, kivonás és szorzás segítségével. Hogyan kaphatjuk meg az f(x,y) = 0 egyenlet racionális megoldásait? Racionális megoldáson olyan x₀, y₀ számpárt értünk, amelyre f(x₀, y₀)= 0 és x₀ valamint y₀ is törtszám, vagyis felírható mint egészek hányadosa. A megszorítás tehát az, hogy csak a racionális számok között keressük a megoldásokat. Például az kifejezés esetében az f(x,y) = 0 egyenlet egy racionális megoldása az számpár.

Másik érdekes kérdés, hogy mikor van az egyenletnek végtelen sok racionálismegoldása. Ha f(x,y) egyenest határoz meg, akkor mindig végtelen sok racionális megoldás van. Például az y -x - 1 = 0 egyenletű egyenesen minden racionális x₀ szám választása ad egy (x₀, y₀) racionális pontot. A körökről és algebrai szempontból velük rokon görbékről ismert, hogy vagy végtelen sok racionális pontjuk van, vagy nincs racionális pontjuk. Ennek eldöntésére David Hilbert és Adolf Hurwitz adtak először eljárást.

Gerd Faltings német matematikus igen nehéz tétele szerint az elliptikus görbéknél bonyolultabb görbéken csak véges sok racionális pont lehet. Faltings eredménye az 1980-as évek elejének talán legnagyobb matematikai szenzációja volt.