Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

IV. Véges görbék

A maradékokkal való számolás lehetőségével felvértezve bámulatosan érdekes, véges sok pontból álló alakzatok nyerhetők. Tekintsünk egy E elliptikus görbét, amelynek az y² = x³ +ax +b egyenletében szereplő a,b számok egészek, és válasszunk egy p prímszámot. Az E_p alakzat pontjai (u,v) alakú párok, ahol u és v is egy-egy p-vel való osztási maradék. Pontosan azokat az (u,v) párokat tekintjük az E_p pontjainak, amelyekre a maradékokkal való számolás szabályai szerint v² = u³ +au+b teljesül. Itt is hasznos az alakzathoz venni a pontot. Az E_p véges görbét tehát az E koordinátás megadásához nagyon hasonló módon kapjuk. A lényeges különbség az, hogy E_p esetében valós számok helyett maradékokkal dolgozunk, és ennek megfelelően a maradékos számolást használjuk a szokásos alapműveletek helyett. A továbbiakban az E_p alakzatot is görbének (esetenként véges görbének) nevezzük, annak ellenére, hogy csak véges számú pontból áll.

8. ábra

E_pEy²x³xpE₅E₅^.3.E₅E_pN_pN₅

Az E_p görbék öröklik az E egyik lényeges jellemzőjét: itt is értelmes a művelet. Két pont összegét ugyanazokkal az algebrai kifejezésekkel számíthatjuk ki, amelyek a valós pontokra megadják az összeg koordinátáit. A különbség csupán annyi, hogy most a hagyományos alapműveletek helyett a maradékok közötti műveleteket kell használnunk.
Például, ha E az y² = x³ -2x egyenletű görbe, akkor E₅ pontjaira használhatók a II. fejezet végén már látott formulák, a összegek számítására. Az 5 prímtulajdonsága miatt, ha y nem osztható 5-tel, akkor a formulákban az osztások elvégezhetők. Az E_p tehát örökli a műveletet E-től. Ezért talán nem meglepő, hogy öröklődnek az azonosságok is. Továbbra is érvényben marad például az asszociatív szabály: az E_p bármely P,Q,R pontjaira .