Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

Az eredeti, torzítatlan rajz egy Droste-kép, amelyre úgy gondolhatunk, hogy a 256-szoros kicsinyítés (vagy nagyítás) önmagába viszi. Ez természetesen idealizált elképzelés, a megvalósításához az egész síkot tele kellene rajzolni. Lenstra a rács elemzésével hasonló természetű, ám bonyolultabb szabályszerűséget talált: a Képtár is önmagába megy át egy alkalmas forgatás és kicsinyítés egymás utáni alkalmazásával. Ezen felfedezés után felmerült a kérdés, hogy van-e valami egyszerű matematikai szabály, amellyel a forgatás szöge és a zsugorítás mértéke megadható. Lenstra fontos támpontot kapott Escher egy másik megjegyzéséből. Eszerint a művész arra törekedett, hogy a kis négyzetek minél kevésbé torzuljanak a transzformáció során. Tudva, hogy képtelen képein mennyire fontos a részletek hűsége, ez igen természetes törekvés.

24. ábra

konform leképezés

Lenstra a matematikai modell keresésekor megfogalmazta azt a további követelményt, hogy a négyzetrácsot az escheri rácsba átvivő leképezés konform legyen. Innen ragyogó - a matematika több területét, köztük az elliptikus görbéket is érintő - érveléssel megmutatja, hogy lényegében egyetlen leképezés van, amely teljesíti Escher célkitűzéseit. Az elliptikus görbéknek az olyan periodikus szabályosságot mutató ponthalmazokkal való kapcsolata jelenik meg az érvelésben, mint amilyen a síkon a négyzetrács. Lenstra leképezése pontos és jól számítható matematikai szabállyal adható meg, és segítségével kitölthető a kép közepén levő fehér folt is. A 25. ábrán látható a matematikai modellből kapott torzított rács.

25. ábra

26. ábra

A modellt a gyakorlatban is kipróbálták. A Leideni Egyetemen Lenstra kollégája, Bart de Smit vezetésével grafikusok, matematikusok és programozók együttes munkájával kidolgozták a Képtárnak az új rácson alapuló változatát (26. ábra). Az így rekonstruált kép meglepően hasonlít Escher eredetijéhez. Az egyetlen azonnal szembeötlő különbség az, hogy az utóbbi kép közepe is ki van töltve. A kép közepén az eredeti kép kb. 22-szeresen kicsinyített és az óramutató járása szerint 158 fokkal elforgatott változata látható. Lenstra és de Smit a rekonstrukció folyamatáról rendkívül érdekes honlapot tart fenn, animációkkal és gyönyörű képekkel. A lapon a matematikai háttérről és a grafikai megoldások részleteiről is tájékozódhatunk.

Számomra különös rejtélyt jelent, hogy Escher, aki nem tanult felsőbb matematikát, miként juthatott ennyire közel egy cseppet sem egyszerű matematikai szabályszerűséghez. Alighanem ez is egyedülálló zsenijének titka marad.