Rónyai Lajos

Elliptikus görbék - a geometriától a titkos kommunikációig

A második kérdést, a végtelen sok racionális pont létezését illetően az elliptikus görbék a legváltozatosabbak és ugyanakkor a legtitokzatosabbak. Előfordulhat, hogy a görbén csak véges sok racionális pont van
(ilyen az y² = x³ - x görbe), de az is, hogy végtelen sok racionális pont létezik a görbén, mint az y² = x³ - 6x + 9 görbe esetében. Jelölje P ez utóbbi görbének a pontját. Megmutatható, hogy a P, a a stb. pontok mind különbözőek (9. ábra).

9. ábra

10. ábra

Miként lehet a két eset között különbséget tenni? Ezzel (is) foglalkozik a jelenkori matematika egyik legnevezetesebb sejtése, amelyet Bryan Birch és Sir Peter Swinnerton-Dyer brit matematikusok fogalmaztak meg (10. ábra).

A sejtésnek több változata van, és mindegyik meglepő kapcsolatot jósol az egész együtthatós y² = x³ - ax + b görbe racionális pontjai és a görbéhez tartozó N₂, N₃, N₅, N₇, N₁₁, N₁₃, N₁₇,... számsorozat között. Az utóbbi sorozatot úgy képezzük, hogy minden olyan p prímre, amelyre 4a³ + 27b² nem osztható p-vel, képezzük a véges E_p görbét és feljegyezzük annak az N_p pontszámát. A sejtések azért meglepőek, mert a két összekapcsolt dolognak - a racionális pontoknak egyfelől, és a számsorozatnak másfelől - első látásra nincs sok köze egymáshoz. A sejtés egyik gyengébb formája arra ad pontos feltételt - a matematikusok szokásos szóhasználatával élve szükséges és elégséges feltételt -, hogy E-nek végtelen sok racionális pontja van. A feltételben olyasmi szerepel, hogy az N_p számok gyakran vesznek fel nagy értéket, vagyis az E_p véges görbének sok p prímre lesz magas a pontszáma. A korábban mondottak szerint az egész együtthatós E görbe racionális pontjainak -összege ismét racionális pont. Louis J. Mordell nevezetes tétele szerint mindig létezik véges sok P₁, P₂,..., P_k racionális pont a görbén, amelyekből az összes további (esetleg végtelen sok) racionális pont megkapható a és műveletek alkalmazásával. Például az y² = x³ - 25x görbének végtelen sok racionális pontja van, viszont ezek a és műveletekkel mind megkaphatók a (0,0), (5,0) és (-4,6) pontokból.

A Birch-Swinnerton-Dyer-sejtés egyik erősebb formája lényegében arra is választ ad - ismét pusztán az N_p számokkal megfogalmazható módon -, hogy mi a lehetséges legkisebb k pontszám, amellyel Mordell tételének állítása teljesül. A sejtés finomabb változata módszert is ad ilyen P₁, P₂,..., P_k pontrendszer találására. Itt érdemes megemlíteni, hogy az egész koordinátájú pontok meghatározására német munkatársakkal Pethő Attila dolgozott ki számítási eljárást. Ahogy az elnevezés is sugallja, a sejtésben foglalt összefüggésekről nem tudjuk, hogy igazak-e. Ismert ugyan, hogy néhány speciális görbecsaládra érvényesek, de az általános eset teljesen nyitott.

A Clay Matematikai Intézet (CMI) egy amerikai magánalapítvány, amelynek célja a matematikai kutatások és a tehetségek támogatása, a matematikai eredmények népszerűsítése. Az intézet 2000-ben világhírű szakértők véleménye nyomán 1-1 millió dolláros díjat tűzött ki 7 nevezetes nyitott probléma megoldására. Egyre általánosabb a vélekedés, hogy ezek a jelenkori matematika legfontosabb kérdései. A hét nevezetes probléma egyike a Birch-Swinnerton-Dyer-sejtés. A Clay-problémák igen nehéz kérdések. Eléggé általános az a vélekedés is, hogy könnyebb módokon is lehet 1 millió dollárt keresni.